资源描述
2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的单调性(1)教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：；2.法则1 法则2 , 法则3 3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 5.对数函数的导数： 6.指数函数的导数： 二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：y=f(x)=x24x+3切线的斜率f(x)(2，+)增函数正0(，2)减函数负0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数f(x).令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、讲解范例：例1确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(x22x+4)=2x2.令2x20，解得x1.当x(1，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令2x20，解得x1.当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数. 例2确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数.当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令6x212x0，解得0x2.当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数. 例3证明函数f(x)=在(0，+)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2.f(x1)f(x2)=x10，x20，x1x20x1x2，x2x10， 0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)= 在(0，+)上是减函数.证法二：(用导数方法证)f(x)=( )=(1)x2=，x0，x20，0. f(x)0，f(x)= 在(0，+)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4求函数y=x2(1x)3的单调区间.解：y=x2(1x)3=2x(1x)3+x23(1x)2(1)=x(1x)22(1x)3x=x(1x)2(25x)令x(1x)2(25x)0，解得0x. y=x2(1x)3的单调增区间是(0，)令x(1x)2(25x)0，解得x0或x且x1.为拐点，y=x2(1x)3的单调减区间是(，0)，(，+)例5当x0时，证明不等式：1+2xe2x.分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(0)=e010=0.当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x)令3(x+)(x)0，解得x.y=xx3的单调增区间是(，).令3(x+)(x)0，解得x或x.y=xx3的单调减区间是(，)和(，+)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(，+)令2ax+b0，解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，)3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x(1)解：y=()=当x0时，0，y0.y=的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=()当x3时，0，y0.y=的单调减区间是(，3)，(3，3)与(3，+).(3)解：y=(+x).当x0时+10，y0. y=+x的单调增区间是(0，+) 五、小结 ： f(x)在某区间内可导，可以根据f(x)0或f(x)0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数 六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：
展开阅读全文