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2019-2020年高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式自主训练新人教B版必修1.已知a0,-1b0,下列不等式成立的是( )A.aabab2 B.ab2abaC.abaab2 D.abab2a思路解析:由于-1b0,所以0b21aab20,且ab0,易得abab2a.本题也可以根据a,b的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=.答案:D2.“a0,b0”是“ab0”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件思路解析:由“a0,b0”可推出“ab0”,反之,不一定成立,选A.答案:A3.如果loga3logb3,且a+b=1,那么( )A.0ab1 B.0ba1C.1ab D.1ba思路解析:a+b=1,a、bR,0a1,0b1.loga3logb3,.lgalgb.0ab1.答案:A4.若a=,b=,c=,则( )A.abc B.cbaC.cab D.bac思路解析:易知a,b,c都是正值,=log891,所以ba;=log25321,所以ac.所以bac.答案:C5.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_.思路解析:f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1,显然大于0,所以f(x)g(x).答案:f(x)g(x)6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.解:设有糖水b克,其中含糖a克,再加入m克糖,则原来的糖水的浓度为100%,加入m克糖后,糖水的浓度变为100%.由事实可知糖水变甜,浓度增大,故100%100%,答:当0ab,m0时,有.7.若ab0,cd0,e0,求证:.思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据cd0,得-c-d0,所以a-cb-d0,再由倒数的性质和e0即可得到结论,也可以直接作差进行比较.证明:.8.在等比数列an和等差数列bn中,a1=b10,a3=b30,且a1a3,试比较a2与b2的大小.思路分析:根据等比与等差的性质,求出a2、b2,再利用作差法比较.解:设an的公比为q,bn的公差为d,则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d.a3=b3,a1q2=a1+2d,即2d=a1(q2-1).a1a3=a1q2,q21.q1.a2-b2=a1q-(a1+d)=a1q-a1a1(q2-1)=a1(q-1)20,a2b2.我综合 我发展9.如果a0,b0,那么,下列不等式中正确的是( )A. B. C.a2b2 D.|a|b|思路解析:如果a0,b0,那么0,0,选A.其余三个选项可以举反例排除.答案:A10.若a、b、cR,ab,则下列不等式成立的是( )A. B.a2b2C. D.a|c|b|c|思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然0,对不等式ab的两边同时乘以,得成立.答案:C11.已知ab0,试比较与的大小.思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.解法一:作差法:.解法二:作商法:.12.如果用记号minp,q表示p,q中的较小者,maxp,q表示p,q中的较大者.设f(x)=minx2-2x+6,x2+6x+5,g(x)=maxx2-x+2,x,试比较f(x)和g(x)的大小.思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x的范围进行讨论,然后再作差比较大小.解:由于x2-2x+6-(x2+6x+5)=-8x+1,由此可知,当x时,x2-2x+6x2+6x+5.当x时,x2-2x+6x2+6x+5.所以而x2-x+2-x=x2-2x+2=(x-1)2+10,所以x2-x+2x.所以g(x)=x2-x+2.(1)当x时,f(x)-g(x)=x2+6x+5-(x2-x+2)=7x+3,所以当x=时,f(x)=g(x).当x时,f(x)-g(x)0,f(x)g(x).当x时,f(x)-g(x)0,f(x)g(x).(2)当x时,f(x)-g(x)=x2-2x+6-(x2-x+2)=-x+4,所以当x=4时,f(x)=g(x).当x4时,f(x)-g(x)0,f(x)g(x).当x4时,f(x)-g(x)0,f(x)g(x).13.已知a0,b0,且m,nN+,求证:am+n+bm+nambn+anbm.思路分析:根据所求证的式子的特点,适合比差,也有利于分解因式,最后讨论因式的符号.证明:(am+n+bm+n)-(ambn+anbm)=am(an-bn)+bm(bn-an)=(an-bn)(am-bm).(1)当ab0时,anbn,ambm.所以(an-bn)(am-bm)0.所以am+n+bm+nambn+anbm.(2)同理可证,当ba0时,am+n+bm+nambn+anbm.(3)当a=b时,am+n+bm+n=ambn+anbm.综上所述,可知原式得证.
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