2019-2020年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段达标训练新人教A版选修.doc

2019-2020年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段达标训练新人教A版选修基础巩固1点C在O的弦AB上，P为O上一点，且OCCP，则( )A.OC2=CACB B.OC2=PAPBC.PC2=PAPB D.PC2=CACB思路解析:根据OCCP，可知C为中点，再由相交弦定理即有PC2=CACB.答案:D2如图2-5-12，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值为( )图2-5-12A.1 B. C.-1 D.思路解析:过点B作BBMN,交O于点B，连结AB交MN于点P,此时点P使APBP最小.易知B与B点关于MN对称，依题意AON=60,则BON=BON=30,所以AOB=90，AB=.故PAPB的最小值为2.答案:D3如图2-5-13，已知AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，BDMN于D.求证：BC2=BDAB.图2-5-13思路分析:简单型的比例线段问题，主要是证两个三角形相似.这样，如何证得两个三角形相似，就成为关键问题，可以利用两角对应相等，也可以利用一角相等，夹边对应成比例.证明:连结AC.AB是直径，ACB=90.又BDMN，BDC=90.ACB=CDB.又MN切O于C，DCB=A.ACBCDB.ABCB=CBBD.则BC2=BDAB.4如图2-5-14，以O上的一点A为圆心作A，分别交O于B、C，过A作弦AF交公共弦于E，交A于D.求证：AD2=AEAF.图2-5-14思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上，因此不存在相似三角形，所以必须转移其中一条或两条，以构成两个能够相似的三角形，注意到同圆半径相等的性质，所以将AD换成AB，通过等线段代换，可以达到目的.证明:分别连结、BF.AB=AC，AB=AC.ABC=F.又BAF公共，ABEBFA.AB2=AEAF.AB=AD，AD2=AEAF.5如图2-5-15，PA切O于A，割线PBC交O于B、C，D为PC的中点，连结AD并延长交O于E，已知BE2=DEEA.图2-5-15求证：（1）PA=PD;（2）BP2=ADDE.思路分析:（1）中因为PA与PD在同一个三角形中，所以可以通过说明两角相等解决问题；（2）中则运用切割线定理转换线段.证明:(1)连结AB，证明BEDAEB得DBE=DAB.又可证PAD=ADP，PA=PD.(2)PA2=PBPC且PD=CD=PC，PA=PD,PD=2PB=PBBD.PB=BD=PD.又BDCD=ADDE，可证得结论，且PD=CD.6如图2-5-16，P为圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是AB上一点.求证：OPC=OCM.图2-5-16思路分析:图形中有两条切线，故运用切割线定理得线段和角的关系，在RtOPB中运用射影定理，有OB2=OPOM，代换其中的OB为OC，可得三角形相似，即得角的相等关系.证明:连结OB，由切线长定理，得PA=PB,PMAB，PO平分APB.又PBOB，在RtOPB中，OB2=OPOM，OB=OC，OC2=OPOM,即.OCPOMC.OPC=OCM.综合应用7如图2-5-17，PA切O于A，PCB、PDE为O的割线，并且PDE过圆心O，已知BPA=30，PA=23，PC=1，求PD的长.图2-5-17思路分析:求PD，可使用割线定理PCPB=PDPE，显然PA切O，PA2=PCPB.可求得PB，但PE=PDDE，DE为O直径，所以求O的直径成为解题的关键.解:PA切O，PA2=PCPB.又PB=PCBC，BC=11.连结AO，并延长与O交于K，与CB交于G，则GA=PAtanGPA=PAtan30=2.又RtGPA中，GPA=30，PG=2GA=4.CG=3，GB=8.由相交弦定理GCGB=AGGK，可得GK=12，直径为14.由割线定理有PCPB=PDPE，得PD=-7.8如图2-5-18，PA为O的切线，A为切点，PBC为O的割线，若PA=10，PB=5，BAC的平分与BC和O分别交于D、E.求ADAE的值.图2-5-18思路分析:由切割线定理PA2=PBPC，由已知条件可得BC长，又通过ACEADB，得ADAE=CABA,从而求CA、BA的长即可.解:连结CE，PA2=PBPC，PA=10，PB=5,PC=20.BC=15.又PA切O，PAB=ACP.P公共,PABPCA.=.BC为O直径，CAB=90.AC2AB2=BC2=225.可解得AC=，AB=.但AE平分BAC,CAE=EAB，ABC=E.ACEADB.ADAE=ABAC=90.9如图2-5-19，C为O直径AB的延长线上一点，过C作O的切线CD，D为切点，连结AD、OD和BD，根据图中所给的已知条件（不再标注或使用其他字母，也不再添加任何辅助线），写出两个你认为正确的结论.图2-5-19思路分析:可通过勾股定理、直角三角形斜边上的中线定理、切线的性质定理以及弦切角定理、切割线定理来写结论.解:如：OD=AB，CDOD，CDB=BAD，CD2=CBCA或OD2CD2=CO2等.10在直径为AB的半圆形区域内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其他两边分别为6米和8米.先要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，图2-5-20的设计方案是使AC=8米，BC=6米.图2-5-20（1）求ABC的边AB上的高h.（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.思路分析:（1）利用三角形的面积，即斜边斜边上的高=两直角边的积；（2）求最值问题时，利用三角形相似得到比例式，转变成二次函数即可.解:（1）直径AB为ABC的斜边，AB=10米.h=4.8米.（2）=，AN=x.又，S矩形DEFN=x(8-x)=x210x=(x-)212.当x=时，Smax=12.（3）BC2=OBAB，OB=3.6.，BE=1.8.同理，AD=3.2,AC=6，BC=8即可.