2019-2020年高三数学 1.2离散型随机变量的期望与方差(第一课时)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 1.2离散型随机变量的期望与方差(第一课时)大纲人教版选修课时安排2课时从容说课对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律.在实际问题中,我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差.在向学生介绍这两个概念时,要通过大量的实例来引入,让学生自己活动,通过做数学题来实现建构,即“做中学”.在用实例来激励学生时,既要考虑实际性,也要考虑科学性.例如可以先举这样的实例：如果某人获得18元奖金的概率为,那么他(她)获得奖金期望为18=3元.然后抽象为：如果某人获得s元的概率为p,那么该同学获得奖金的可能值为sp元,即称为期望值.然后再推广到一般的情形：一个公司有n个员工,每位员工都想获得奖金,若第k名员工获得sk元奖金的概率为pk,那么这名员工获得奖金的期望为skpk,整个公司员工获得奖金的期望值为.然后再让学生自己编拟一些试题来解决.再引导学生分别研究单点分布、两点分布、二项分布的随机变量的期望.通过这样教学,学生很容易建构一个完整的数学期望的概念及相关计算方法.从而也就很轻松地引导学生解决了离散型随机变量的方差概念.让学生理解离散型随机变量的方差D与标准差的关系及区别.这一节安排两课时为宜.第三课时课题1.2.1离散型随机变量的期望教学目标一、教学知识点1.离散型随机变量的数学期望(E)的概念.2.离散型随机变量=a+b(其中为随机变量)的数学期望公式E(a+b)=aE+b的推导.3.服从二项分布的离散型随机变量的数学期望(B(n,p),E=np.二、能力训练要求1.会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望值E.2.会求=a+b及满足二项分布的离散型随机变量的数学期望值.3.加强学生的猜想与证明的训练.运用数学期望值解决实际问题.三、德育渗透目标1.培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力.2.培养学生收集处理信息的能力,并能根据处理结果作出合理建议.3.鼓励学生对一些数学结论作出猜想,并给出证明,培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神,培养学生的数学人文价值观.教学重点离散型随机变量的期望是随机变量的重要特征数(或数字特征),是对随机变量的一种简明的描写.随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律,但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点,如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与离散程度等,在随机变量的特征数中数学期望是重要特征数之一.教学难点离散型随机变量的期望E的定义引入及计算公式的给出,由特殊到一般的认识过程学生不是很容易能接受的,要会区分随机变量所取的不同的值,可能是有限的,也可能是无限的,从有限到无限的飞跃是一个难点,也是将来继续学习的一个重要基础.教学方法建构主义观点的实践方法.学生在学习新知识时,不是被动地接受,而是积极主动地建构,并且将原来的认知结构进行同化或顺应.鼓励学生积极参与教学活动,敢于独立思考、勇于创新的科学精神,让每个学生都有更好的发展.教具准备实物投影仪(或幻灯片、幻灯机)教学过程.课题导入对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律,也就是随机变量的分布列和分布函数完全决定了随机变量的取值,但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点,例如它取值的平均水平、集中位置等等.在许多场合,特别是在实际应用中,人们往往并不知道随机变量的确切分布,虽然,对于任何随机变量都可以通过试验来近似求出它的概率分布,但这常常很复杂且很不经济,于是就要引入随机变量的一些数字特征,来研究它的有关问题.这就是我们今天要学习的新内容：离散型随机变量和数学期望(板书课题).讲授新课1.概念的引入师什么叫离散型随机变量的数学期望？(板书)现在我们来看问题1：(幻灯片或实物投影)某射手射击所得环数的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22如何根据已知的分布列估计n次射击的平均环数呢？请同学思考一下,并给出算法.准备好的同学可以到讲台上讲给大家听.生(走向讲台指着屏幕讲解)根据这个射手射击所得环数的分布列,在n次射击中,如得4环的次数应为P(=4)n=0.02n次,他所得的4环总数约为4次数=4P(=4)n=40.02n.预计有大约：4环次数为P(=4)n=0.02n；5环次数为P(=5)n=0.04n;6环次数为P(=6)n=0.06n;；10环次数为P(=10)n=0.22n这样n次射击的总环数约为S=40.02n+50.04n+60.06n+90.29n+100.22n=(40.02+50.04+60.06+90.29+100.22)n,所以,这个人的n次射击中的平均环数约为=40.02+50.04+60.06+90.29+100.22=8.32.师这个同学计算的完全正确,讲得也很清楚.请问,这名射手的射击水平集中在哪个范围内呢？生从平均环数上看,它是集中在8环左右.生不对,应该是9环左右,这一点可以从分布列上看出.师都有道理,从分布列上看,射中9环的次数多一些,较为集中一些.以后我们还要学习新的知识,再来讨论这个问题.上述这个问题能否推广到任何一射手n次射击的平均环数呢？生可以.对任一射手,若已知其射击所得环数的分布列,即已知各个P(=i)(i=0,1,2,3,10),则可预计他任意n次射击的平均环数是0P(=0)+1P(=1)+10P(=10).师正确.对于上述的平均数,我们引入一个数学符号E来表示,称E为此射手射击所得环数的期望.它刻画了随机变量所取的平均值,从一方面反映了射手的射击水平.从上述过程,可以得到离散型随机变量的数学期望的定义了吗？生若离散型随机变量的概率分布为x1x2x3xnPp1p2p3pn则称E=x1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望或平均数、均值(教师边听边板书,并及时给予提示或补充).师这就是数学期望的定义.实际上,它是一组数据nx1p1,nx2p2,nxnpn的平均数,也是平均值(均值),数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.从这个定义中体现了哪些数学思想和方法？生(1)直觉类比的方法(从数据的平均数,类比得到随机变量的平均数)；(2)由特殊到一般的方法(从两个实际问题引申推广到一般的情况)；(3)无限思想的渗透(课本中只是给出了有限个的值,而定义中却写成E=x1p1+x2p2+xnpn+).生刚才这位同学提出了从有限到无限的思想方法,课本中确实是写成了x1p1+x2p2+xnpn+,表示是无限个相加,这是怎么加的,如何求它的和呢？(学生提出问题质疑老师,这一点在以往的常规教学中还是不常见到的,在新的形势下,教师应有为学生学习服务的意识,不单纯是讲授知识,而还应该传道解惑也.教师的工作方法、学识的渊博、热情的态度、人格的力量都能深深地影响学生的一辈子,影响优秀人才的培养.所以,我们的课堂教学应鼓励学生大胆提问,找出问题)师这位同学质疑的问题很好.我们的教科书从有限个累加跳跃到无限个累加,这是教科书给出的离散型随机变量的数学期望的一个不严格的定义.这个定义在离散型随机变量取有限个值时是没有问题的.对于无限个变量时,要有定理来支撑它才行,即用到了级数绝对收敛,此时称的和为的数学期望.注意也有的是不收敛的,是发散的,此时的期望不存在.这一点有兴趣的同学可以看看高等数学中有关级数收敛的问题.(这样做一是给学生一个答复,另一方面,也为成绩好的同学提出了自学的目标,鼓励他们敢于独立思考的精神,坚持自主学习)师若=a+b,其中a、b为常数,则也是随机变量,它的数学期望与的数学期望有什么关系呢？生我们可以列出、的分布列,因为P(=axi+b)=P(=xi)(i=1,2,3,),所以的分布列为x1x2x3xnax1+bax2+bax3+baxn+bPp1p2p3pn由数学期望的定义,有E=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn+=a(x1p1+x2p2+xnpn+)+b(p1+p2+pn+)=aE+b.(学生在黑板上写出过程).即 (教师总结板书).师推导的公式完全正确,以后我们就可以直接使用E(a+b)的公式解题.前面我们学过了服从二项分布的随机变量,那么它的期望又如何求呢？先看一个小问题：设在一次试验中某事件发生的概率是p,是一次试验中此事件发生的次数,则E为多少呢？生由题意知,P(=0)=1-p,P(=1)=p,所以E=0P(=0)+1P(=1)=0(1-p)+1p=p.师这个结果就是贝努里分布(即两点分布)的数学期望.利用贝努里分布与二项分布之间的关系,对二项分布的数学期望你们能作出猜想吗？请同学们讨论,然后再作回答.(这时教室里讨论、争论的气氛十分活跃,争论的过程就是学生思维的暴露过程,就是学生们思维火花的碰撞,一个个结论即将诞生.这就是我们教学过程中的群体共识效应).生由贝努里分布的数学期望可知：在一次试验中此事件平均发生p次,我们可以大胆猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生np次,即若B(n,p),则E=np.师这位同学给出了猜想,是否正确呢？还必须要进行科学的论证,哪位同学到黑板上写？其余同学可以在下面写.生(来了两位学生)由n次独立重复试验发生k次的概率公式知,(令q=1-p),k=0,1,2,n.由离散型随机变量的期望定义,知E=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+kP(=k)+nP(=n)=0+1+2+=p2qn-2+=np(p+q)n-1=np.补证：,因为(只有一个同学补证的).师他们给出的证明是正确的,过程也是十分严密的.特别提出表扬的是,第二位同学对给出了补证,这个结论是我们上学期学习的内容,它是一道习题,在运用它的时候,不能拿过来就用,还必须要严格的论证.所以我们证明了刚才的猜想是正确的.你们应敢于独立思考、大胆猜想、勇于创新,只有这样你们才能实现自己的远大理想,社会才会进步得更快.2.课本例题例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分的期望.(教学时先请一位同学读题,然后再分析、求解)师这道题是求随机变量(得分)的期望,罚球时只有两种情况,0分和1分.这类问题是什么类型问题,如何求解呢？生利用定义法求解.因为P(=1)=0.7,P(=0)=0.3,所以E=1P(=1)+0P(=0)=10.7+00.3=0.7.生这类题是二项分布的特例,即两点分布问题(贝努里分布),它的数学期望为p.因为命中才能得1分,而命中的概率是0.7,所以他罚球1次的得分的期望E=0.7.师两位同学说的都是正确的.前一位利用定义法解,这是解题策略中最常用的方法,后一位是利用两点分布的数学期望为p的解法.例2随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数的期望.师这道题应分成几段来求解呢？你的解题策略是什么呢？生分成两部分,第一是求各点数的概率即分布列,第二是利用点数的期望的定义求解,也就是定义法解题.解：抛掷骰子所得点数的概率分布列为123456P所以,.师求数学期望时,要先求概率,再求期望.下面看例子.例3有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数的期望.(结果保留三个有效数字)师此例题是产品抽查问题,从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的.解这题应分为几步呢？解题策略是什么呢？生在产品抽查中已说明产品数量很大时,各次抽查的结果可以认为是相互独立的.当k=1,2,3,9时,记第k次取出正品的事件为Ak,第k次取出次品的事件为Bk,则前k-1次取出正品,而第k次(k=1,2,3,9)取出次品的概率是P(=k)=P(A1A2Ak-1Bk)=P(A1)P(A2)P(Ak-1)P(Bk)=0.850.850.850.15=0.85k-10.15.需要抽查10次,则前9次都取出正品,其概率为P(A1A2A9)=P(A1)P(A2)P(A9)=0.850.850.85=0.859.第一步：因此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316第二步：利用定义法求出E.根据以上的概率分布,可得的期望E=10.15+20.1275+30.1084+90.0409+100.2316=5.35.师生共析(解题回顾)例3是产品抽查问题,在这类问题中常涉及次品率、抽样是否放回的问题.若采用放回抽样,则各次抽样时的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.若采用不放回抽样,每次抽样后次品率将会发生变化,因而各次抽样不独立.但是在直观上看,当产品数量很大而抽查次数较少时,在抽样时抽出次品与否对于后面的抽样品次品率影响很小,因而也可以认为各次抽样是彼此独立的.例4一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.师本题是求哪一类的数学期望,如何求解呢？生设甲、乙两个学生在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别为和,则B(20,0.9),B(20,0.25),所以E=200.9=18,E=200.25=5.由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5.所以,他们在测验中的成绩的期望分别是E(5)=5E=518=90,E(5)=5E=55=25.师生共析此例是利用二项分布的数学期望公式解决实际问题的一个例子,在解决这个问题的过程中还用到了具有线性关系的随机变量的数学期望公式,即E(a+b)=aE+b.3.例题精选(xx年全国,理19)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定：每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,且假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；(2)求这名同学总得分不为负分(即0)的概率.思路分析：(1)求的可能值,即是求得分,答对0道得-300分,答对1题得100-200=-100分,答对2题得2100-100=100分,答对3道得300分.(2)总分不为负分共包括总分为100分,总分为300分两种情况.解：(1)的可能取值为-300,-100,100,300,P(=-300)=0.23=0.008;P(=-100)=30.220.8=0.096;P(=100)=30.20.82=0.384;P(=300)=0.83=0.512.所以的分布列为-300-100100300P0.0080.0960.3840.512E=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512=180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(0)=0.384+0.512=0.896.解题回顾：本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运用统计知识解决实际问题的能力.随机变量的有关知识是新教材新增加的内容,它属应用数学范畴,属概率论知识,主要在经济以及其他具体社会领域应用广泛,更加突出了“数学源于社会,又服务于社会”的原则,我们可以大胆预测这部分内容将是未来几年高考的重点、热点,是高考必考题型.课堂练习课本P12练习16.(请同学口述或板演).课时小结师今天我们主要是学习离散型随机变量的期望E的计算公式,而利用公式的前提是学好分布列,因此在知识应用过程中应注意以下三点：(1)随机变量的取值有限与无限问题；(2)概率的计算问题；(3)注重应用(理论联系实际).课后作业课本P16习题1.21、2、3、4、5、6题.板书设计1.2.1离散型随机变量的期望一、1.定义：离散型随机变量的数学期望是随机变量在随机试验中的取值的平均值.2.公式：.对于特殊情况(1)若c为常数,则Ec=c.(2)若=a+b,其中a、b为常数,则也是随机变量并且E=aE+b.(3)若B(n,p),则E=np.公式E的推导过程(例3)E=aE+b的推导过程(例4)二、例题例1例2