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2019-2020年高中数学第二章函数2.4函数与方程课堂探究新人教B版必修探究一 求函数的零点1函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数解就是f(x)的零点解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解2对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点【典型例题1】 求下列函数的零点：(1)f(x)x22x3；(2)f(x)x41.思路分析：解对应的方程的根，即为函数的零点解：(1)由于f(x)x22x3(x3)(x1)，所以方程x22x30的两根是3,1.故函数的零点是3,1.(2)由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，所以方程x410的实数根是1,1.故函数的零点是1,1.探究二 判断函数的零点个数1对于函数零点的个数的判断通常的做法有：直接求出零点；结合函数图象分析；对函数解析式确定的二次函数，用判别式即可，若表达式中含有字母，需对字母进行讨论2二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点个数抛物线f(x)ax2bxc(a0)与x轴交点的个数方程ax2bxc0(a0)根的个数【典型例题2】 (1)函数f(x)ax2bxc满足ac0，则函数的零点个数为()A.0 B1 C2 D不确定(2)判断下列函数的零点个数：f(x)x27x12；f(x)x2.(1)解析：二次函数f(x)ax2bxc的零点即方程ax2bxc0的根，因为b24ac0(因ac0)，所以函数有2个零点答案：C(2)解：因为由f(x)0，即x27x120，得4941210，所以方程x27x120有两个不相等的实数根3,4.所以函数f(x)有两个零点方法一：由x20，得x2.令h(x)x2(x0)，g(x).在同一直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两个图象只有一个交点，故函数f(x)x2只有一个零点方法二：令f(x)0，即x20，因为x0，所以x310.所以(x1)(x2x1)0.所以x1或x2x10.因为方程x2x10的根的判别式12430，所以方程x2x10无实数根所以函数f(x)只有1个零点探究三 零点性质的应用解决根的分布问题的一般步骤为：1首先画出符合题意的草图，转化为函数问题2结合草图考虑三个方面：(1)与零的大小关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系3写出由题意得到的不等式(组)4由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式(组)时，要注意条件的完备性【典型例题3】 当a取何值时，方程ax22x10的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内？思路分析：对a分a0，a0，a0三种情况讨论，并利用零点的特征性质来解决解：当a0时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意当a0时，设f(x)ax22x1，方程ax22x10的根，即函数f(x)的零点分别在区间(0,1)，(1,2)内，即解得a1.当a0时，设方程ax22x10的两根为x1，x2，则x1x20，即x1，x2一正一负，不符合题意综上，a的取值范围为.点评对于根的分布问题常常借助函数零点的有关性质进行讨论在解本题时，易出现的情况，导致此种错误的原因是没有对a进行分类讨论探究四 利用二分法求函数零点的近似值1二分法求函数零点近似值的一般步骤2二分法应用时的注意事项(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小(2)在求解过程中，可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度(3)根据给定的精确度，及时检验所取区间长度是否达到要求，以及时终止计算【典型例题4】 借助计算器，用二分法求函数f(x)2x23x1的一个正零点(精确到0.1)思路分析：本题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成解：令2x23x10，得x.其中12，由于f(1)20，f(2)10，可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间x11.5f(x1)101.5,2x21.75f(x2)0.12501.75,2x31.875f(x3)0.406 2501.75,1.875x4+1812 5f(x4)0132 812 501.75,1.812 5由上表可知，区间1.75,1.812 5长度不大于0.1，因此可取1.8为所求函数的一个正零点近似值探究五 易错辨析易错点忽视函数有零点的条件而致误【典型例题5】 若，是函数f(x)x2(k2)xk23k5的两个零点，试求22的最大值错解：根据题意，可得，是方程x2(k2)xk23k50的两根由根与系数的关系，得k2，k23k5，所以22()22(k2)22(k23k5)k210k6(k5)219，所以22的最大值为19.错因分析：没有考虑函数有零点这一前提条件，从而导致错解正解：因为函数f(x)x2(k2)xk23k5有两个零点，所以(k2)24(k23k5)0，即3k216k160.所以(k4)(3k4)0，解得4k.由错解知22(k5)219，所以当k4时，22取最大值，最大值为18.点评 涉及二次函数最值求解问题，大家一定要注意自变量的取值范围，再者对于二次函数有零点，就意味着0，不要忽略的情况而直接讨论其他问题，这样很容易出现错误
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