2019年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式学案理.doc

2019年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式学案理考纲展示1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()_；cos()_；tan().答案：sin cos cos sin cos cos sin sin 2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2_；cos 2_；tan 2.答案：2sin cos cos2sin22cos2112sin2(1)教材习题改编计算：sin 108cos 42cos 72sin 42_.答案：(2)教材习题改编已知cos ，则sin的值是_答案：解析：因为cos ，所以sin ，所以sinsin coscos sin.公式使用中的误区：角的范围；公式的结构(1)若函数f()，则满足2tan 1，且_.答案：k(kZ)解析：要使函数f()有意义，则12tan 0，tan 有意义，所以2tan 1，则k(kZ)(2)化简：sin xcos x_.答案：sin解析：sin xcos xcos sin xsin cos xsin.典题1(1)xx江西新余三校联考已知cos，则sin的值为()A. B. C D答案C解析因为coscos，所以有sin2，从而求得sin的值为，故选C.(2)已知cos ，则sin的值为_答案解析由cos ，得sin ，故sinsin cos cos sin .(3)设sin 2sin ，则tan 2的值是_答案解析sin 22sin cos sin ，cos .又，sin ，tan ，tan 2.点石成金三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值考点2三角函数公式的逆用与变形应用公式的常用变形(1)tan tan tan()(_)；(2)_，_；(3)1sin 2(_)2,1sin 2(_)2，_sin.答案：(1)1tan tan (2)cos2sin2(3)sin cos sin cos sin cos (1)教材习题改编计算：sin 43cos 13sin 13cos 43_.答案：解析：原式sin(4313)sin 30.(2)教材习题改编已知sin ，为第二象限角，则sin 2的值为_答案：解析：sin ，为第二象限角，cos ，sin 22sin cos 2.辅助角公式(1)函数f(x)sin xcos x的最大值为_答案：解析：sin xcos xsin .(2)一般地，函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()_或f()_.答案：sin()cos()解析：一般地，函数f(x)asin bcos (a，b为常数)可以化为f()sin()或f()cos().典题2(1)xx贵州贵阳监测已知sinsin ，则sin的值是()A B.C. D答案D解析sinsin ，sin cos cos sin sin ，sin cos ，即sin cos .故sinsin cos cos sin .(2)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值为()A B.C. D答案B解析由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.(3)xx陕西西安模拟计算：sin 10_.答案解析原式sin 10.点石成金三角函数公式活用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(3)注意切化弦思想的运用.1.已知sin，则cos的值是()A. B.C D答案：D解析：sin，coscos12sin2，coscoscoscos.2化简：(0)_.答案：cos 解析：原式.因为0，所以0，所以cos 0，所以原式cos .考点3角的变换 角的变换技巧2()(_)；(_)；_；_.答案：典题3已知，均为锐角，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值解(1)，.又tan()0， 0.sin().(2)由(1)可得，cos().为锐角，且sin ，cos .cos cos ()cos cos()sin sin() .题点发散1在本例条件下，求sin(2)的值解：sin()，cos()，cos ，sin .sin(2)sin ()sin()cos cos()sin .题点发散2若本例中“sin ”变为“tan ”，其他条件不变，求tan(2)的值解：tan ，tan()，tan(2)tan .点石成金利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.已知0，且cos，sin，求cos()的值解：0 ，0，R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间6,16上的最大值为4，求a的值解(1)f(x)2sin x4sin22a2sina，由题意，知2，得.所以最小正周期T16.(2)f(x)2sina，因为x6,16，所以x.由图象可知(图略)，当x，即当x16时， f(x)的最大值，由2sin a4，得a2.2三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解典例2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B，求tan 的值解(1)因为a2b2abc2，由余弦定理，得cos C.故C.(2)由题意，得，因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.因为C，AB，所以sin(AB).因为cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.3三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，abx1y2x2y1，abx1x2y1y20，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用典例3已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A,1sin A)，是共线向量(1)求角A；(2)求函数y2sin2Bcos 的最大值思路分析(1)(2)解(1)因为p，q共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则sin2A.又A为锐角，所以sin A，则A.(2)y2sin2Bcos 2sin2Bcos 2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1.因为B，所以2B，所以当2B时，函数y取得最大值，解得B，ymax2.