2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第一课时比较法、分析法与综合法教学案北师大版选修4-5.doc

2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第一课时比较法、分析法与综合法教学案北师大版选修4-51比较法比较法证明不等式可分为求差比较法和求商比较法两种：(1)要证明ab，只要证明ab0；要证明ab，只要证明abb0，只要证明1；要证明ba0只要证明0，n为偶数，求证：.(2)已知abc0.求证：a2ab2bc2cabcbcacab.思路点拨本题考查不等式的性质及比较法在证明不等式中的应用，同时考查推理论证及运算求解能力解答此题(1)用求差比较法，(2)用求商比较法证明精解详析(1).当a0，b0时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0.所以0.故.当a，b有一个为负值时，不妨设a0，b0，所以a|b|，又n为偶数所以(anbn)(an1bn1)0.又(ab)n0，故0.即.综上所述，可知原不等式成立(2)由abc0，得abcbcacab0.作商aabaacbbcbbaccaccbabacbc.由abc0，得ab0，ac0，bc0，且1，1，1.abacbc1.a2ab2bc2cabcbcacab.比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式，一般使用求差比较法，当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用求商比较法1用比较法证明下列不等式：(1)设a，b，c均为正数，且abc1，求证：a2b2c2.(2)已知a2，求证：loga(a1)2，a11，loga(a1)0，log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)2，0loga(a21)logaa22.221.loga(a1)0，求证： a2.思路点拨本题考查不等式的性质、平均值不等式等基础知识在证明不等式中的应用，考查推理、求解能力解答此题可以用分析法证明精解详析要证原不等式成立，只需证 2a，即证a24 4222，只需证.即证2a22，只需证a22.由平均值不等式知a22, 显然成立原不等式成立(1)当所证不等式与重要不等式、平均值不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径(2)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆2已知，且，求证：tan tan 2tan .证明：欲证tan tan 2tan，只需证，只需证.，sin0.又sin ()2sincos，故只需证，只需证cos2cos cos ，即证cos cos ，即证1cos cos sin sin 2cos cos .只需证1cos()，结论显然成立故原不等式成立.用综合法证明不等式例3设a，b，c均为正数，求证：.思路点拨本题考查不等式的性质、平均值不等式及证明不等式的方法等基础知识，解答此题可观察不等式左右特点，利用平均值不等式证明精解详析a，b，c均为正数，当ab时等号成立；同理，当bc时等号成立；，当ac时等号成立；三个不等式相加即得.用综合法证明不等式时，主要利用平均值不等式等一些重要不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的演绎推理下推导出结论综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些重要不等式3设a，b，c为不全等的正数，求证：2.证明：左边1113.a，b，c为不全相等的正数，2，2，2中的等号不可能同时成立，6，633.用分析法与综合法结合起来证明不等式例4已知a，b，cR，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)()思路点拨本题考查利用分析法与综合法结合起来证明不等式问题，考查了平均值不等式、不等式的性质等基础知识解答此题在分析过程中有时进行到一定步骤不易进行下去，就要从已知条件出发，进行演绎推理，直至综合法推出的结论与分析法追溯的充分条件统一为止，从而证明不等式精解详析(1)要证abc，由于a，b，cR，因此只需证(abc)23，即证a2b2c22(abbcca)3，根据条件，只需证a2b2c21abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时取等号)成立原不等式成立(2)，在(1)中已证abc，要证原不等式只需证.也就是只要证abcabbcca.而a，b，c，abcabbcca(abc时取等号)成立原不等式成立在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的如果使用综合法证明不等式难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律有时问题的证明难度较大，常使用分析综合法，实现从两头往中间靠以达到证题目的4若a，b，c均为正数，求证：.证明：要证，只要证111，只要证，只要证(abc)().因为(abc)()(ab)(bc)(ca)()33 ，所以原不等式成立比较法、分析法与综合法是证明不等式的最重要的三种基本方法，在高考、模拟中常以解答题的形式，考查不等式的性质、平均值不等式等不等式的基础知识，同时考查运算、推理及求解能力考题印证(安徽高考)(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1N BM2，2.22，即.即MN.答案：A二、填空题5已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_解析：(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)0.a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2a1b2a2b16已知0x1，a2，b1x，c，则a，b，c中最大的是_解析：因为0x1，所以a0，b0，c0，又a2b2(2)2(1x)2(1x)20，所以a2b20，所以ab.又cb(1x)0，所以cb，所以cba.答案：c7已知点An(n，an)为函数y的图像上的点，Bn(n，bn)为函数yx的图像上的点，其中nN，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：an ，bnn，cn n，cn随n的增大而减小，即cn为减函数，cn1cn.答案：cncn18设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b)解析：对数函数ylgx为定义域上的增函数，只需比较(1)与的大小即可(1)2(1a)(1b)1ab2(1abab)2(ab)又由基本不等式得2(ab)，(1)2(1a)(1b)0，即有lg(1)lg(1a)lg(1b)答案：三、解答题9已知a0，b0，m0，n0，求证：amnbmnambnanbm.证明：amnbmn(ambnanbm)(amnambn)(anbmbmn)(ambm)(anbn)当ab0时，ambm，anbn，(ambm)(anbn)0.当0ab时，ambm，an0.当ab时，ambm，anbn，(ambm)(anbn)0.综上可知(ambm)(anbn)0.amnbmnambnanbm.10已知a，b，c都是正数，求证：23.证明：法一：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b，c为正数，得c2c3.原不等式成立法二：a，b，c是正数，c33.即c23.故2c3.ab2abc3.23.11设a0，b0，ab1，求证：2.证明：所证不等式变形为2，可视为点(，)到直线xy0的距离，但因()2()24，点A在圆x2y24(x0，y0)上如图所示，ADBC，半径AOAD.即有2，2.