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第十二章 动能定理,功是代数量,12-1 力的功,常力在直线运动中的功,单位 J（焦耳） 1 J = 1 Nm,元功,即,变力在曲线运动中的功,力 在 路程上的功为,记,则,1、重力的功,质点系,由,重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。,得,2、弹性力的功,弹簧刚度系数k(N/m),弹性力,弹性力的功为,因,式中,得,即,弹性力的功也与路径无关,3. 定轴转动刚物体上的功,则,若 常量,由,得,从角 转动到角 过程中力 的功为,作用在 点的力 的元功为,力系全部力的元功之和为,4. 平面运动刚体上力系的功,其中,由 两端乘dt，有,其中: 为力系主失， 为力系对质心的主矩。,当质心由 ，转角由 时，力系的功为,即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。,说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；,2、C点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立；,3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。,12-2 质点和质点系的动能,2、质点系的动能,1、质点的动能,单位：J（焦耳）,（1）平移刚体的动能,（2）定轴转动刚体的动能,即,即,即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。,得,速度瞬心为P,（3）平面运动刚体的动能,上面结论也适用于刚体的任意运动。,将 两端点乘 ，,由于,12-3 动能定理,1、质点的动能定理,因此,得,上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。,称质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。,积分之，有,2、质点系的动能定理,称质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。,由,求和,得,称质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。,积分之，有,3、理想约束,光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零。,称约束力作功等于零的约束为理想约束。,对理想约束，在动能定理中只计入主动力的 功即可。,内力作功之和不一定等于零。,例12-3 已知：均质圆盘R,m,F=常量，且很大，使O向右运动，f,初静止,求：O走过S路程时、,圆盘速度瞬心为C,解：,均不作功。,注意：,1、摩擦力Fd 的功 S 是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移。,将式(a)两端对t求导，并利用,得,不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：,2、亦可将力系向点O简化，即,例12-5 已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;, M为常力偶。,求：轮心C走过路程S时的速度和加速度,轮C与轮O共同作为一个质点系,解：,式(a)是函数关系式，两端对t求导，得,例12-5：已知：r1 ， m1 均质；杆m均质，O1O2=l , M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。,求：O1O2转过角的、,研究整个系统,解：,式(a)对任何均成立，是函数关系，求导得,注意：轮、接触点C不是理想约束，其摩擦力Fs尽管在空间是移动的，但作用于速度瞬心，故不作功。,例12-6：均质杆OB=AB=l, m在铅垂面内；M=常 量，初始静止，不计摩擦。,解：,求：当A运动到O点时，,12-4 功率、功率方程、机械效率,由 ，得,1、功率：单位时间力所作的功称功率,即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。,单位W（瓦特），1W=1J/S,作用在转动刚体上的力的功率为,2、功率方程,称功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。,或,3、机械效率,机械效率,有效功率,多级转动系统,例12-7 已知：,若 ，求F的最大值。,求：切削力F的最大值,解:,当,时,例12-8: 已知 m . l0 .k . R .J,求：系统的运动微分方程。,解：,令 为弹簧静伸长，即mg=k ,以平衡位置为原点,12-5 势力场.势能.机械能守恒定律,1.势力场,势力场： 场力的功只与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。,2.势能,称势能零点,力场,（1）重力场中心势能,（2）弹性力场的势能,（3）万有引力场中的势能,取零势能点在无穷远,质点,重力场,例如： 已知:均质杆l, m 弹簧强度 k, AB水平时平衡，弹簧变形,取弹簧自然位置O为零势能点:,取杆平衡位置为零势能点:,即,质点系在势力场中运动,有势力功为,3. 机械能守恒定律,由,即：质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。此类系统称保守系统,及,得,例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=3.35 N/m,求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力,卡住前,卡住时：,解：,得,即,由 有,取水平位置为零势能位置,例：已知：m, , k水平位置平衡 OD=CD=b,求：初速 时， =?,解：,4. 势力场的其他性质：,( 1 ),（2）势能相等的点构成等势面,（3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向,12-6 普遍定理的综合应用,例：已知 均质园轮m,r,R ，纯滚动,求：轮心的运动微分方程,解:,重力的功率,（ 很小）,本题也可用机械能守恒定律求解。,得,例：已知两均质轮m,R;物块m, ，纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。,求：重物下降h时 ，v、a及滚轮与地面的摩擦力。,解：,将式（a）对t 求导,（a）,得,其中,例：已知 l, m,求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。,解：,成 角时,（ a ）,（ b）,时,由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得,由,其中： 铅直 水平,(c),例：已知 轮I ：r, m1; 轮III :r，m3; 轮II ：R=2r, m2;压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度，物块：mA；摩擦力不计。,求：O1 O2处的约束力。,其中,解:,利用,其中,研究 I 轮,压力角为,研究物块A,研究II轮,例9：已知，m， R, k, CA=2R为弹簧原长，M为常力偶。,求：圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力,解：,得,例 均质杆AB，l, m,初始铅直静止，无摩擦,求：1.B端未脱离墙时，摆至角位 置时的 ， ，FBx , FBy,3.杆着地时的vC及 2,解：（ 1 ）,（ 2 ）.脱离瞬间时,（ 3 ）.脱离后，水平动量守恒， 脱离瞬时,杆着地时，AC水平,由铅直水平全过程,式中,例12-1 已知：m,h,k,其它质量不计。,求：,解：,
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