2019-2020年高三数学 3.4复合函数的导数(第一课时)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 3.4复合函数的导数(第一课时)大纲人教版选修课时安排2课时从容说课本节讲述复合函数的微分法，先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明，然后通过三个例题说明法则的使用.对于复合函数，以前学生只是见过，但教科书没有专门介绍过它的概念，教学时，可以先由引入求导法则的实例，让学生对复合函数的概念有一个初步的认识，再结合后面的例题、习题，逐步了解.也可以将xx年高考（江苏卷）试题中y=（x-a）n的导数，从复合函数的角度来求导，让学生认识到其作用，大大缩短了解题链.在进行复合函数的求导法则教学时，首先通过课本的实例，让学生对求导法则有一个直观的了解，如求y=（3x-2）2的导数y时，分两组求解，一是先展开后求导再合并，二是把3x-2看成整体u,先对u2求导,再求u的导数（关于x），比较2uux与y的关系.再举几个实例，让学生发现规律，由学生提出法则:y=fu（x）,则y=fuux,然后让学生探索证明过程.要把握好教学的尺度.在处理“当x0时u0”的时候，可以指出，其依据是“可导函数的连续性”.又如，推导时，要求u0.复合函数求导法则的应用是本节的教学重点，在教学时应注意：选定中间变量要适当;要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;复合函数的求导法则还可以应用于已知一个方程来确定变量间的函数关系的情况.例如，已知y2=2px，求yx.第八课时课题3.4.1复合函数的导数（一）教学目标一,教学知识点复合函数的求导法则.二,能力训练要求1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够利用上述公式，并结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导.三,德育渗透目标1.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律.2.培养学生归纳、猜想的数学方法.3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联系的观点看问题.4.培养学生的创新能力，提高学生的数学素质.教学重点复合函数的求导法则的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.教学难点复合函数的求导法则的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，求导时对哪个变量求导要写明.可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.教学方法建构主义式由几个具体的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进行观察、总结，能够自己发现规律，得到结论.让学生主动地进行学习，而不是被动地接受知识.培养学生的创新意识.教具准备实物投影仪先由几个例子，引出复合函数的求导法则.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求yx,yu,ux和yuux，答案写入表格中，让学生将yx与yuux的结果进行比较.教学过程.课题导入师我们已经学习了一些基本初等函数的导数.基本初等函数一共有六种：常量函数y=C（C是常数），幂函数y=xa（aR）,指数函数y=ax（a0,a1）,对数函数y=logax（a0,a1, x0）,三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,反三角函数y=arcsinx，y=arccosx,y=arctanx, y=arccotx.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数已经学过了，指数函数和对数函数的导数下几节课学.这节课我们来学习由基本初等函数复合而成的函数的导数.讲授新课（一）复合函数的导数师我们来看几个函数.（由实物投影仪投影出来）y（3x-2）2（sinx）2（x+1）3（x-1）3sin2xu3x-2sinxx+1x-12xy（u）u2u2u3u3sinuyx18x-122sinxcosx3（x+1）23（x-1）22cos2xyu2u2u3u23u2cosuux3cosx112yuux18x-122sinxcosx3（x+1）23（x-1）22cos2x师这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下yx,yu,ux和yuux，并且yuux用x表示.（给学生时间做题，做好了，让学生回答，说出答案，老师用笔写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的）生这几个函数yx与yxux的值是相同的.师我们把u称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有相同的结论呢？要求yx，只要求yu与ux的乘积，也就是说yx=yuux.我们来证明一下下面的一个命题.板书1.设函数u=（x）在点x处有导数ux=（x），函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数yu=f（u）,则复合函数y=f（x）在点x处也有导数，且yx=yuux或fx（x）=f（u）（x）.证明：设x有增量x，则对应的u,y分别有增量u,y,因为u=（x）在点x处可导，所以u=（x）在点x处连续.因此当x0时，u0.（为了证明起来比较方便，而且在不影响结论的情况下，我们只考虑）当u0时，由，且，=，即yx=yuux.师所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求yu和ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度也不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法则.2.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.（二）课本例题例1求y=（2x+1）5的导数.（让学生设中间变量）解：设y=u5,u=2x+1，yx=yuux=（u5）u（2x+1）x=5u42=5（2x+1）42=10（2x+1）4.注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.师有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.（三）精选例题例1xx年江苏高考21（1）已知a0，n为正整数，设y=（x-a）n.证明：y=n（x-a）n-1.分析：设y=un，u=x-a.yx=yuux=nun-1（x-a）=n（x-a）n-11=n（x-a）n-1.解：y=（x-a）n，可以设y=un，u（x）=x-a，yx=yuux=（un）（x-a）=nun-1（x-a）=n（x-a）n-11=n（x-a）n-1.例2（xx年江西省高考模拟题）设y=f（sinx）是可导函数，则yx等于（）A.f（sinx）B.f（sinx）cosxC.f（sinx）cosxD.f（cosx）cosx分析：该函数分两层，中间变量u=sinx，外层f（u）对u求导为f（u），而不是f（u），内层函数u=sinx对x求导为cosx.解：令u=sinx,yx=f（u）ux=f（sinx）（sinx）=f（sinx）cosx.故选B.例3求f（x）=sinx2的导数.（让学生设中间变量）解：令y=f（x）=sinu,u=x2.yx=yuux=（sinu）u（x2）x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2.f（x）=2xcosx2.例4求y=sin2（2x+）的导数.分析：设u=sin（2x+）时，求ux,但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令y=u2,u=sin（2x+）,再令u=sinv,v=2x+.yx=yuux=yu（uvvx）.yx=yuuvvx=（u2）u（sinv）v（2x+）x=2ucosv2=2sin（2x+）cos（2x+）2=4sin（2x+）cos（2x+）=2sin（4x+）,即yx=2sin（4x+）.例5求y=的导数.学生板演解：令y=,u=ax2+bx+c.yx=yuux=（）u（ax2+bx+c）x=u（2ax+b）=（ax2+bx+c）（2ax+b）=,即yx=.例6求函数y=（2x2-3）的导数.分析：y可看成两个函数的乘积，2x2-3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.解：令y=uv,u=2x2-3,v=.令v=,=1+x2.vx=vx=（）（1+x2）x=（2x）=.yx=（uv）x=uxv+uvx=（2x2-3）x+（2x2-3）=4x+=，即yx=.课堂练习1.求下列函数的导数.（先设中间变量，再求导）（1）y=（5x-3）4;（2）y=（2+3x）5;（3）y=（2-x2）3;（4）y=（2x3+x）2.解：（1）令y=u4,u=5x-3.yx=yuux=（u4）u（5x-3）x=4u35=4（5x-3）35=20（5x-3）3.（2）令y=u5,u=2+3x.yx=yuux=（u5）u（2+3x）x=5u43=5（2+3x）43=15（2+3x）4.（3）令y=u3,u=2-x2.yx=yuux=（u3）u（2-x2）x=3u2（-2x）=3（2-x2）2（-2x）=-6x（2-x2）2.（4）令y=u2,u=2x3+x.yx=yuux=（u2）u（2x3+x）x=2u（23x2+1）=2（2x3+x）（6x2+1）=24x5+16x3+2x.2.（1）函数y=（x+1）2（x-1）在x=1处的导数为（）A.1 B.2 C.3 D.4解析：y=2（x+1）（x-1）+（x+1）2,y|x=1=4,故选D.（2）（xx年湖北高考题）已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为（）A.f（x）=（x-1）3+3（x-1）B.f（x）=2（x-1）+3C.f（x）=2（x-1）2+3D.f（x）=x-1解析：检验每个选项,看哪一个函数在x=1处的导数为3.当f（x）=2（x-1）+3时,f（x）=2;当f（x）=2（x-1）2+3时,f（x）=4（x-1）;当f（x）=x-1时,f（x）=1.故只有A合适,所以选A.课时小结这节课主要学习了复合函数的求导法则.复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx=yuux,并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导.课后作业（一）课本P123习题3.41（1）（2），2（1）（2），3（2）.（二）1.预习内容：课本P122123例2、例3.2.预习提纲：预习例2、例3的解题过程，复习巩固复合函数的求导法则.板书设计3.4.1复合函数的导数（一）1.设函数u=（x）在点x处有导数ux=（x），函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数yu=f（u）,则复合函数y=f（x）在点x处也有导数，且yx=yuux或fx（x）=f（u）（x）.2.复合函数的求导法则.复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.课本例题例1.求y=（2x+1）5的导数.精选例题求下列函数的导数.例1.（xx年江苏高考题）例2.（xx年江西省高考模拟题）例3.f（x）=sinx2.例4.y=sin2（2x+）.例5.y=.例6.y=（2x2-3）.课堂练习1.求下列函数的导数.（1）y=（5x-3）4;（2）y=（2+3x）5;（3）y=（2-x2）3;（4）y=（2x3+x）2.2.课时小结课后作业