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四. 实对称矩阵的对角化,实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,更可找到正交矩阵 ，使得,定理1：实对称矩阵的特征值为实数.,证：设 是 的任一特征值，（往证 ）,是对应于 的特征向量，,则,设,用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量。,则,又 是实对称矩阵， 且,由(1)(2)有,等号两边同时左乘,左边,右边,即,考虑,即 为实数。,定理2：实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。,是依次与之对应的特征向量。,证：设 是对称矩阵 的两个特征值，且,则,于是,为实对称矩阵，,考虑,即 正交。,定理3： 为 阶实对称矩阵， 是 的 重特征值，,即 的基础解系所含向量个数为,则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为,（则 ）,知道结论即可,定理4：(实对称矩阵必可对角化),对于任一 阶实对称矩阵 ，,一定存在 阶正交矩阵 使得,其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。,证：设实对称阵 的互不相等的特征值为,它们的重数依次为,则,由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的 特征向量为 个。,把它们正交化，再单位化，即得 个单位正交的特征向量。,所以，可得这样的单位正交向量 个。,又 是实对称阵，,上面得到的 个单位特征向量两两正交。,以它们为列向量构成正交矩阵 ，有,不同特征值对应的特征向量正交，,其中 的对角元素含有 个,个,个,恰是 的 个特征值。,求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：,1. 解特征方程,求出对称阵 的全部不同的特征值。,3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。,2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量，,这样共可得到 个两两正交的单位特征向量,4. 以 为列向量构成正交矩阵,有,即,必须注意：对角阵中 的顺序,要与特征向量 的排列顺序一致。,解：,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,令,再单位化：令,当 时，齐次线性方程组为,单位化得,得正交矩阵,有,例2：设,求正交矩阵 ，,使得 为对角阵。,解：,当 时，由,只需把 单位化，得,（考虑为什么？）,当 时，由,只需把 单位化，得,当 时，由,只需把 单位化，得,得正交矩阵,有,
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