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二 次 型,第1节 二次型的概念 第2节 二次型的矩阵处理 第3节 二次型的化简 第4节 正定二次型,一 二次型的函数性质 二次型本质上是包含 n 个未知数的实二次齐次函数。 设二次型 f(x) = xTAx (AT=A) f(x) 的定义域为： Rn f(x) 的值域有如下性质： 性质1：若存在x使得 f(x)=xTAx0,则对任意给定的正数0，必存在 y,使得 f(y) = yTAy = 。 性质2：若存在 x 使得 f(x)=xTAx0,则对任意给定的负数0，必存在 y,使得 f(y) = yTAy = 。,第3节 正定二次型,性质3：二次型 f(x)=xTAx 经非退化(可逆)线性替换x=Cy化为二次型 g(y)=yTBy=yT(CTAC)y,则f(x)与g(y)的值域相同。 证明：在 f(x) 的值域中任取一数 ，则必存在 xRn，使得 f(x) = xTAx = ， 则当 y = C-1x 时，有 g(y) = g(C-1x) = (C-1x)TB(C-1x) = (C-1x)T(CTAC)(C-1x) = xT(C-1)TCTACC-1x = xTAx = . 反之，在g(y) 的值域中任取一数，则必存在 y Rn，使得 g(y) = yTBy = yT(CTAC)y = . 对f(x)，当 x = Cy 时，则有 f(x) = f(Cy) = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC)y = . 因此变换前后左右的二次型f(x)与g(y)的值域相同，即可逆的线性替换不改变二次型的值域。,二 实二次型标准形的惯性定理 定理：二次型 f=xTAx 的标准形中，系数为正的平方项的个数与系数为负的平方项的个数是惟一确定的，不因所作的非退化线性变换的不同而改变。 称标准形中系数为正的平方项的项数为二次型f的正惯性指数，系数为负的平方项的项数为负惯性指数，且称两者之差为f的符号差，两者的和等于二次型的秩。 由惯性定理，二次型的任一标准形中，正、负惯性指数是惟一确定的。 定理：若二次型 f的正、负惯性指数都不为0，则 f 的值域为(-, +)；若 f 的正惯性指数0，负惯性指数=0，则f的值域为0,+); 若f的正惯性指数=0，负惯性指数0,则 f 的值域为(- ,0.,三 正定与负定二次型 定义：设有二次型 f(x)=xTAx，如果对任何 x0，都有f(x)0，则称 f 为正定二次型，并称对称阵A是正定的；反之如果对任何 x0都有f(x)0，则称f为负定二次型，并称对称阵A是负定的。 定理：若 f(x) = xTAx 为负定二次型，则二次型 f(x)=-xTAx为正定二次型。,定理：n元二次型 f(x)=xTAx 为正定的充分必要条件是 f 的正惯性指数等于n。,推论：二次型 f=xTAx为正定的充分必要条件是对称阵A的特征值全0。 推论：对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全0。 定理：对称阵A为正定的充分必要条件是 A的所有顺序主子式都为正，即有 对称阵A为负定的充分必要条件是 A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即有,例：,四 半正定与半负定二次型 定义：设有二次型 f(x)=xTAx，如果对任何x，都有f(x)0，则称 f 为半正定二次型，并称对称阵A是半正定的；反之如果对任何x都有f(x)0，则称f为半负定二次型，并称A是半负定的。 定理：若 f(x) = xTAx 为半负定二次型，则二次型 -f(x)=-xTAx为半正定二次型。 定理：n元二次型 f(x)=xTAx 为半正定的充分必要条件是 f 的负惯性指数=0；反之f这半负定的充分必要条件是正惯性指数=0。,
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