2019-2020年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例优化训练北师大版必修.doc

2019-2020年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例优化训练北师大版必修5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为（ ）A. B.2- C.-1 D.+1解析:指由点到直线距离公式得,|a+1|=.又a0,a=-1.答案:C2.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为（ ）A.(5,-1) B.(-5,1) C.(-1,5) D.(1,-5)解析：由题设F1+F2+F3=0，得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），即F3=(-5,1).答案:B3.已知两个力F1和F2的夹角是直角，如图2-7-1所示，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10 N，求F1和F2的大小.图2-7-1解：|F1|=|F|cos60=10=5 N，|F2|=|F|sin60=10=5N，F1的大小为5 N，F2的大小为5N.4.如图2-7-2所示，一艘船从A点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-2解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.在RtABC中，|=2，|=2，所以|=4.因为tanCAB=CAB=60.所以，船的实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是( )A.n=（0，1） B.n=（-1，0） C.n=（1，1） D.n=（-1，-1）解析：直线y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量.答案:A2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.解：设小孩的体重为G，两胳膊受力分别为F1、F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力)，不难建立向量模型：|F1|=,0,当=0时，|F1|=;当=时，|F1|=|G|；又(0,)时，|F1|单调递增，故当(0,)时,F1(,|G|),当(,)时，|F1|G|.此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a,=-2a.+=,=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.+=,=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知PBO=45，PABO， BA=AO，可知POB为等腰直角三角形，PO=PB=a，即|v|=a.实际风速是a的西北风.4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1和F2的合力F对质点所做的功.解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1=(3,4)（-13，-15）=-99（焦耳）.W2=F2=（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）.（2）W=FAB=（F1+F2）=（3，4）+（6，-5）（-13，-15）=（9，-1）（-13，-15）=-102（焦耳）.5.如图2-7-3所示，有两条相交成60的直线xx1、yy1的交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上，起初甲位于离O点3 km的A处，乙位于离O点1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动(如图2-7-4所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosB).试求： 图2-7-3 图2-7-4(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?解：(1)起初两人分别在A、B两点，则|=3,|=1.|=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|=km，即起初两人相距 km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,则|=4t,|BQ|=4t,又甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，当0t时，|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;当t时，|2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120=48t2-24t+7(t0),综上,|2=48t2-24t+7=48(t)2+4,t0,+).当t=，即在第15分钟末时，PQ最短，两人最近，最近距离为2 km.6.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O点出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里?解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC.依题意OCOA，BC=OA=20，OB=40，BOC=30，船应向上游与河岸夹角为30的方向行进.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为( )A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0解析：法向量a=(2,1),直线的斜率为k=.又直线过定点A(2,3),直线方程为2x+y-7=0.答案：A2.若=3e，=5e，且|=|，则四边形ABCD是( )A.平行四边形 B.菱形C.等腰梯形 D.非等腰梯形解析：由=3e，=5e，可知与平行.又|，故四边形ABCD为梯形.由|=|，可得四边形ABCD为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问题.答案：C3.某人用50 N的力（与水平方向成30角，斜向下）推动一质量为8 kg的木箱沿水平平面运动了20 m，若动摩擦因数=0.02，g取10 m/s2，则摩擦力f所做的功为( )A.42 J B.-42 J C.22 J D.-22 J解析：f=（80+50sin30）0.02 N=2.1 N，又f与位移所成的角为180，fs=|f|s|cos180=2.120（-1）J=-42 J.答案：B4.某人向正东走x km后，又向右转150，然后朝新方向走3 km.结果他离出发点恰好 km，那么x的值等于( )A. B. C. D.3解析：由分析知|a+b|=，a2+2ab+b2=3.x2+6xcos150+9-3=0，即x2-3x+6=0.解得x=或2.答案：C5.已知ABC满足2=+，则ABC是( )A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形解析：2=+，2=（-）+，即2=（+）+.=0，即.故ABC为直角三角形.答案：C6.已知一物体在共点力F1=（lg2，lg2），F2=（lg5，lg2）的作用下产生位移s=（2lg5，1），则这两个共点力对物体做的功W为( )A.lg2 B.lg5 C.1 D.2解析：F1+F2=（1，2lg2），s=（2lg5，1），共点力对物体做的功W=（F1+F2）s=2lg5+2lg2=2.答案：D7.有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P，从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点Q，从Q0（-2，-1）开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|.设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P0、Q0处，则当时，t=_.解析：由题意知=t（e1+e2）=（t，t），故P点坐标为（t-1，t+2）.=t（3e1+2e2）=（3t，2t），故Q点坐标为（3t-2，2t-1）.=（2t-1，t-3），=（-1，-3）.又，即=0，-2t+1-3t+9=0.解得t=2.答案:28.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度大小为4 km/h，方向与水流间的夹角是60.求v1和v2.解：v1=vsin60=4km/h=2km/h，v2=vcos60=4 km/h=2 km/h.v1的大小为2 km/h，v2的大小为2 km/h.9.在ABC内求一点P,使2+2+2的值最小.解:如图,设=a,=b,=x,则=x-a,=x-b,2+2+2=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2=3x-(a+b)2+a2+b2- (a+b)2.根据向量运算的意义知,当x=(a+b)时,2+2+2有最小值.设M为AB的中点,易知a+b=2.当x= (a+b)时, = ,也即P为ABC的重心时,2+2+2的值最小,为a2+b2-(a+b)2.