2019-2020年高中数学第二册(上)两条直线的位置关系(IV).doc

2019-2020年高中数学第二册(上)两条直线的位置关系(IV)教学目的：1. 掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系教学重点：两条直线平行和垂直的条件应用教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题授课类型：练习课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识点汇总： 1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且 已知直线、的方程为：，：的充要条件是 两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是已知直线和的一般式方程为：，：，则3.直线到的角的定义及公式：直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角：0180， 如果如果， 4直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是-,当与相交但不垂直时, 和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线时,直线与的夹角是.夹角：090如果如果， 5两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解6点到直线距离公式：点到直线的距离为：7两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为 二、直线系方程8直线系方程若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为或+ (为常数) 三、讲解范例：例1 两条直线和的交点在第四象限，则的取值范围是( )A.（6，2） B.（，0） C.（，）D.（，)解法一：解方程组得交点为(）此点在第四象限，故选C.解法二：如图，直线与x轴的交点是A（4，0），方程表示的是过定点P（2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与平行的直线由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率 而，所以 故选C.评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会例2 求证：不论为什么实数，直线都通过一定点证法一：取1，得直线方程；再取，得直线方程为x9.从而得两条直线的交点为(9，），又当9，时，有即点(9，）在直线上，故直线都通过定点(9，）证法二：，（x21）（x5）0，则直线都通过直线210与50的交点.由方程组，解得9，即过点(9，）所以直线经过定点(9，).证法三：（，（21）5由为任意实数，知关于的一元一次方程（21）5的解集为R，解得9，所以直线都通过定点(9，）例3 若，求证直线必经过一个定点.证明：由，且不同时为0，设0，则代入直线方程，得(）（1）0.此方程可视为过直线0与10的交点的直线系方程.解方程组得1，1即两直线交点为(1，1），故直线过定点(1，1).点评：以上例题是直线系的应用问题例4已知点A的坐标为(，），直线的方程为320，求：(1)点A关于直线的对称点A的坐标；(2)直线关于点A的对称直线的方程.解：(1)设点A的坐标为（，）.因为点A与A关于直线对称，所以AA，且AA的中点在上，而直线的斜率是3，所以.又因为 再因为直线的方程为320，AA的中点坐标是()，所以320 由和，解得2，6.所以A点的坐标为(2，6) (2)关于点A对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3c0.在直线上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M（，），于是M点在上，且MM的中点为点A，由此得，即：，6.于是有M（，6）.因为M点在上，所以3（）60，18 故直线的方程为3180 例5光线由点射出，遇到直线：后被反射，已知其，求反射光线所在直线的方程.解：设点A关于的对称点为，则即所求直线方程为，即 点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题.例6 求直线:2+-5=0,: +3-4=0的夹角，到的角，到的角 解：由两条直线的斜率=-2,=-，得tan=，tan1，=-.点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序.一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于.例7 已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线=-2上的一点，满足APB最大，求点P的坐标及APB的最大值.解：设P（，2），则kAP，当3时，APB0；当3时，tanAPB1当且仅当3，即1时等号成立，P是(1,-1)时，APB有最大值；当3时，同法可求APB的最大值是arctan 结论：当P点的坐标是（1，1）时，APB有最大值 说明：P点在直线y=-2上，将点P坐标可设成(,-2)，而AB轴，所以需分P在直线AB上、在直线AP的上方、下方三种情况讨论.例8 已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.解：直线BC的斜率kBC，直线AC与直线BC垂直，直线AC的方程为y4（5）即32y70ABC45，kAB5或kAB.AB边所在的直线方程为:y4（5）或y45（5）即5y150或5y290 说明：此题利用等腰直角三角形的性质，得出ABC45，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程.例9 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：:+3y-4=0, :5+2y+6=0.解法一：解方程组,所以与的交点是(-2,2)，由两点式得所求直线的方程为,即-4y+10=0.解法二:可设所求直线方程为+3y-4+(5+2y+6)=0(R），点(2，3)在直线上.2334（5223）0，.所求直线方程为+3y-4+(-)(5+2y+6)=0.即-4y+10=0.例10 k为何值时，直线：yk3k2与直线：4y40的交点在第一象限.解：由两直线的交点在第一象限k1.即当k1时，两直线的交点在第一象限说明：k为何值时，两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于0，纵坐标大于0，而后解不等式组即得k的范围.例11 求点P（3，2）到下列直线的距离： (1)y；（2）y6；（3）y轴.解：(1)把方程y写成34y10由点到直线的距离公式得d (2)因为直线y=6平行于轴，所以d6（2）8.（3）d33.说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成dx0a或dy0b.例12 求与直线：5-12y+6=0平行且到的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5-12y+c=0.在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5-12y+c=0的距离为d=，由题意得=2.所以c=32或c=-20.所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0.说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离.例13 已知正方形的中心为G（1，0），一边所在直线的方程为3y50，求其他三边所在直线方程.解：正方形中心G(1，0)到四边距离均为.设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为3yc10.则，即c11.解得c15或c17.故与已知边平行的直线方程为+3y+7=0.设正方形另一组对边所在直线方程为3yc20则，即c236.解得c29或c23.所以正方形另两边所在直线的方程为3-y+9=0和3-y-3=0综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：+3y+7=0、3-y+9=0、3-y-3=0 说明：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程四、课堂练习：1.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合是( )A.直线2x+y2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=02.点P(mn,m)到直线=1的距离等于( )A. B. C. D.3.若A(sin，cos）、B（cos，sin）到直线xcos+ysin+p=0(p1)的距离分别为m、n，则m、n的大小关系是( )A.mn B.mn C.mn D.mn4.已知点(3，m)到直线x+y4=0的距离等于1，则m等于( )A. B. C. D. 或5.直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到的距离相等，则直线的方程是( )A.4x+y6=0 B.x+4y6=0C.3x+2y7=0或4x+y6=0 D.2x+3y7=0或x+4y6=06.点P(x,y)到直线5x12y+13=0和直线3x4y+5=0的距离相等，则点P的坐标应满足的是( )A.32x56y+65=0或7x+4y=0 B.x4y+4=0或4x8y+9=0C.7x+4y=0 D.x4y+4=07.已知直线：y=x与：y=x，在两直线的上方有一点P，过P分别作、的垂线，垂足为A、B.已知PA2，PB2.求(1)P点坐标；(2)AB的值8.三角形的三个顶点坐标分别是A(4，1)、B(7，5)、C(4,7)，求角A的平分线方程9.已知一直线被两直线：3x+4y7=0和：3x+4y+8=0截得的线段长为且过点P(2，3)，求直线的方程参考答案：1.D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.A 7.(1)(0，4) （2）8.7x+y29=0 9.x=2或7x24y+58=0 四、小结 ：两条直线平行与垂直的条件；两条直线的夹角和点到直线的距离公式；直线的方程判断两条直线的位置关系；直线系方程的应用 五、课后作业：1.已知直线：A1x+B1y+C10与直线：A2x+B2y+C20相交，则方程1（A1xB1yC1）2（A2x+B2y+C2）=0,(0)表示( )A.过与交点的一切直线B.过与的交点，但不包括可包括的一切直线C.过与的交点，但包括不包括的一切直线D.过与的交点，但既不包括又不包括的一切直线2.方程(a1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直线( )A.恒过定点(2,3) B.恒过定点(2，3)C.恒过点(2,3)和点(2，3) D.都是平行直线3.点(3，9)关于直线x+3y10=0对称的点的坐标是( )A.(1,3) B.(17,9) C.(1,3) D.(17,9)4.下列直线中与直线y+1=x平行的直线是( )A.2x3y+m=0(m3) B.2x3y+m=0(m1)C.2x+3y+m=0(m3) D.2x+3y+m=0(m1)5.已知M(1，0)、N(1，0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是A.2,2 B.1，1 C.， D.0，26.直线y=k(x1)(kR)表示经过点到 且不与 垂直的直线.7.若方程(6a2a2)x+(3a25a+2)y+(a1)=0表示平行于y轴的直线，则a的值 .8.两平行线、分别过点P1（1，0）与P2（0，5），(1)若与距离为5，求两直线方程；(2)设与之间距离是d,求d的取值范围.9.直线y=2x是ABC中C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(4，2)、B（3，1），求点C的坐标，并判断ABC的形状10.(1)求证直线(2+m)x+(12m)y+43m=0,不论m为何实数，此直线必过定点.(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程参考答案：1.A 2.A 3.A 4.A 5.A 6.(1，0)；x轴 7.不存在8.(1) 的方程为y=0或5x12y5=0. 的方程为y=5或5x12y+60=0.(2)（0，9.C(2，4)；直角三角形10.(1)略 (2)2x+y+4=0 六、板书设计（略）七、课后记：