2019-2020年高中数学第二章参数方程章末复习课学案北师大版选修.doc

2019-2020年高中数学第二章参数方程章末复习课学案北师大版选修将参数方程化为普通方程解析由得y，又由得x2y22.由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)答案(1,1)例2已知曲线C的参数方程为(t为参数，t0)，求曲线C的普通方程解因为x2t2，所以x22t，故曲线C的普通方程为3x2y60.例3已知参数方程(t0)(1)若t为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？解(1)当t1时，由得sin ，由得cos .1.它表示中心在原点，长轴长为2|t|，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆当t1时，y0，x2sin ，x2,2，它表示在x轴上2,2的一段线段(2)当(kZ)时，由得t.由得t.平方相减得4，即1，它表示中心在原点，实轴长为4|sin |，虚轴长为4|cos |，焦点在x轴上的双曲线当k(kZ)时，x0，它表示y轴；当k(kZ)时，y0，x(t)t2(t0时)或t2(t0时)，|x|2.方程为y0(|x|2)，它表示x轴上以(2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线例4已知线段|BB|4，直线l垂直平分BB交BB于点O，并且在l上O点的同侧取两点P，P，使|OP|OP|9，求直线BP与直线BP的交点M的轨迹解如图，以O为原点，l为x轴，BB为y轴，建立直角坐标系xOy.依题意，可知B(0,2)，B(0，2)，又可设P(a,0)，P，其中a为参数，可取任意非零的实数直线BP的方程为1，直线BP的方程为1.两直线方程化简为解得直线BP与BP的交点坐标为(a为参数)，消去参数a，得1(x0)所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆(除去B，B点).直线参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，因此是高考重点考查的一个考点，主要考查直线参数方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中的应用，在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义例5如图，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M两点间的距离|PM|；(2)线段AB的长|AB|.解(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为，tan ，sin ，cos ，直线l的参数方程为(t为参数)直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，(15)248(50)0.设这个二次方程的两个根分别为t1，t2，由根与系数的关系，得t1t2，t1t2，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|.(2)|AB|t2t1|.例6在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得225，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(，)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.圆锥曲线参数方程的应用由于圆、椭圆、双曲线的参数方程均以一个角为参数，这给我们解决与其上动点有关的距离的最值、定值、轨迹等问题带来很大的方便，因此高考中主要考查圆锥曲线参数方程在这些方面的应用，当圆锥曲线由普通方程给出时，需先化为参数方程再应用，最终转化为三角的运算问题，求解例7点P在圆x2(y2)2上移动，点Q在椭圆x24y24上移动，求|PQ|的最大值及相应的点Q的坐标解设圆的圆心为O，在POQ中，|PQ|PO|OQ|OQ|，设Q点的坐标为(2cos ，sin )，而O(0,2)，则|OQ|24cos2(sin 2)232.|OQ|，此时sin ，cos .|PQ|的最大值为，相应点Q的坐标为.例8设P是椭圆4x29y236上的一个动点，求x2y的最大值和最小值解法一：令x2yt，且x，y满足4x29y236，故点(x，y)是方程组的公共解消去x得25y216ty4t2360，由(16t)2425(4t236)0，即t225，解得5t5，x2y的最大值为5，最小值为5.法二：由椭圆方程4x29y236，得1，设x3cos ，y2sin ，代入x2y得x2y3cos 4sin 5sin()，由于1sin()1，所以55sin()5.x2y的最大值为5，最小值为5.一、选择题1直线(t为参数)上与点P(4,5)的距离等于的点的坐标是()A(4,5)B(3,6)C(3,6)或(5,4) D(4,5)或(0,1)解析：选C由题意，可得|t|t，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)2椭圆上的点到直线4x3y200的最小距离为()A. B.C. D2解析：选A点P(3cos ，4sin )到直线4x3y200的距离d.当sin1时，d取最小值为3设r0，那么直线xcos ysin r与圆(是参数)的位置关系是()A相交 B相切C相离 D视r的大小而定解析：选B易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为dr，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切4直线yx与圆心为D的圆(0,2)交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()A. B.C. D.解析：选C由已知得圆D：(x)2(y1)23，则圆心D到直线yx的距离等于d，故cosADB，ADB，ADB；又ADBD，因此有DBA.而直线yx的倾斜角是，因此结合图形可知，在直线AD，BD中必有一条直线的倾斜角等于，另一条直线的倾斜角等于，因此直线AD，BD的倾斜角之和等于2.二、填空题5设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y3x4，则l1与l2间的距离为_解析：将直线l1的参数方程化成普通方程为y3x2，又l2：y3x4，故l1l2，在l1上取一点(0，2)，其到l2：3xy40的距离就是l1与l2的距离，即d.答案：6(湖北高考)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.则C1与C2交点的直角坐标为_解析：由题意，得 x23y2(x0，y0)，曲线C2的普通方程为x2y24，联立，得即C1与C2的交点坐标为(，1)答案：(，1)7直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_解析：直线的普通方程为xy10，圆的普通方程为x2y232，圆心到直线的距离d3，故直线与圆的交点个数是2.答案：28已知圆C：(为参数)，则它的普通方程为_设O为坐标原点，点M(x0，y0)在C上运动，点P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为_解析：由知(x1)2y2sin2cos21.由中点坐标公式得又点M(x0，y0)在圆C上运动，(x01)2y1.故(2x1)24y21.答案：(x1)2y21(2x1)24y21三、解答题9已知椭圆C1：(为参数)及抛物线C2：y26.当C1C2时，求m的取值范围解：将椭圆C1的参数方程代入C2：y26，得3sin26，1cos22m4cos 3，即(cos 2)282m，1(cos 2)29，182m9.解之，得m.当C1C2时，m.10经过P(2,3)作直线交抛物线y28x于A，B两点(1)若线段AB被P平分，求AB所在直线方程；(2)当直线的倾斜角为时，求|AB|.解：设AB的参数方程是(t为参数)，代入抛物线方程，整理得t2sin2(6sin 8cos )t70，于是t1t2，t1t2.(1)若P为AB的中点，则t1t20.即6sin 8cos 0tan .故AB所在的直线方程为y3(x2)即4x3y10.(2)|AB|t1t2|.又，|AB| 8.对应学生用书P43(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的)1当参数变化时，动点P(2cos ，3sin )所确定的曲线必过()A点(2,3)B点(2,0)C点(1,3) D点解析：选B令x2cos ，y3sin ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：1，曲线过点(2,0)2以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A2cos B2sinC2cos(1) D2sin(1)解析：选C由已知得圆心在相应的直角坐标系下的坐标为(cos 1，sin 1)，所以圆在直角坐标下的方程为(xcos 1)2(ysin 1)21，把xcos ，ysin 代入上式，得22cos(1)0.所以0或2cos(1)，而0表示极点，适合方程2cos(1)，即圆的极坐标方程为2cos (1)3直线(t为参数)与椭圆(为参数)的交点坐标是()A(0,2)或(2,0) B(4,0)或(0,4)C(0,2)或(4,0) D(4,2)解析：选C法一：直线参数方程消去参数t，得x2y40.椭圆参数方程消去，得1.由解得或直线与椭圆的交点坐标为(4,0)或(0,2)法二：两曲线相交即两式平方相加，消去，得t2(1t)21.整理，得2t(t1)0.解得t10，t21.分别代入直线的参数方程，得交点坐标为(0,2)或(4,0)4直线cos 2关于直线对称的直线方程为()Acos 2 Bsin 2Csin 2 D2sin 解析：选B直线x2关于直线yx对称的直线是y2，直线方程为sin 2.5参数方程(t为参数)所表示的曲线是()解析：选D将参数方程进行消参，则有t，把t代入y中，当x0时，x2y21，此时y0；当x0时，x2y21，此时y0.6过点(0,2)且与直线(t为参数)的夹角为30的直线方程为()Ayx或x0 Byx2或y0Cyx2或x0 Dyx或x0解析：选C直线的斜率k，倾斜角为60.故所求直线的倾斜角为30或90.所以所求直线方程为yx2或x0.7直线(t为参数)与双曲线x2y21没有公共点，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C把xmt，y12t代入x2y21并整理得3t22(m2)tm220，由题意得4(m2)212(m22)0.即2m22m10，得m.8若圆的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是()A过圆心 B相交而不过圆心C相切 D相离解析：选B将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上9已知点(4,2)是直线l被曲线所截的线段中点，则l的方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y40 Dx2y80解析：选D法一：(4,2)在直线l上，点的坐标满足方程，把点(4,2)的坐标代入四个选项中的直线方程，排除A，B，C.法二：曲线化为普通方程是：1.设曲线与l的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则得：(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2).直线l的斜率为，由点斜式方程可得l方程10已知方程x2axb0的两根是sin 和cos (|)，则点(a，b)的轨迹是()A椭圆弧 B圆弧C双曲线弧 D抛物线弧解析：选D由题a22b(sin cos )22sin cos 1.又|.表示抛物线弧二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11若x2y24，则xy的最大值是_解析：x2y24的参数方程为(为参数)，xy2cos 2sin 2cos.最大值为2.答案：212(重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0，02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_.解析：依题意，直线l与曲线C的直角坐标方程分别是xy10，y24x.由得x22x10，解得x1，则y2，因此直线l与曲线C的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为，即直线l与曲线C的公共点的极径.答案：13(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_.解析：cos 4化为直角坐标方程为x4，化为普通方程为y2x3，联立得A(4,8)，B(4，8)，故|AB|16.答案：1614在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析：曲线C1的普通方程为2xy3，曲线C2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：2sin(为参数)(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系解：(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y2x1；2sin即2(sin cos )两边同乘以得22(sin cos )，消去参数，得圆C的直角坐标方程为：(x1)2(y1)22.(2)圆心C到直线l的距离d，所以直线l和圆C相交16(本小题满分12分)(新课标全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.17(本小题满分12分)(辽宁高考)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x221，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.18(本小题满分14分)已知直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为(为参数)定点A(0，)，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点(1)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程(2)在(1)条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长解：(1)由圆锥曲线C的参数方程知其普通方程为1.A(0，)，F1(1,0)，F2(1,0)直线l的斜率k，l：y(x1)直线l的极坐标方程为sin cos .即2sin .(2)联立得5x28x0.EF .即弦EF的长为.