2019-2020年高三数学 1.6线性回归(第一课时)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 1.6线性回归(第一课时)大纲人教版选修课时安排2课时从容说课本节主要是研究线性回归的概念及线性回归的回归直线.通过大家都熟悉的例子引入线性回归的概念.如在实际生活中,变量之间的关系,除了如同圆面积S=R2这类确定性关系外,还有一类“相关”关系.例如,人的下身长与总身高这两个变量之间虽然不可能建立一个精确的解析式,但这两个变量有着密切的关系,一般说来,下身长的人长得也高.又如,中学毕业班学生毕业考试的成绩与高考成绩之间虽然不可能建立精确的解析式,但它们的关系也非常密切,一般说来,毕业考试成绩好的学生高考成绩也好.为了深入考察这一情形,可以再举一些例子加以说明,用坐标系将对应(xi,yi)的这些数组标出,从直观上看,如果所有的点都在某条直线上,那么用这条直线去代表这一组点,反映它们的变化趋势,自然是再好不过了.这时,对于这一组点,这样的一条直线具有最好的代表性.另一个极端是如果所有的点都不在某条直线上,且这条直线远远偏离这些点,我们自然会认为,用这条直线去代表这一组点,代表性极差.然后取一条直线让这些点到这条直线的距离的总和较小,但这样做比较困难,可以通过假定直线=bx+a去模拟,这条直线称为回归直线.然后再返回到实际问题,通过实际问题的求解,概括出求回归直线方程的具体步骤,这一点可由学生来完成,培养学生的概括能力是十分重要的.本节可以安排两课时.第十一课时课题1.6.1线性回归(一)教学目标一、教学知识点1.理解变量之间的相关关系的概念、线性回归的概念及相关性检验等概念.2.了解线性回归的基本思想和方法.3.理解并掌握一元线性回归分析、回归直线方程.二、能力训练要求1.会用配方法来求回归直线方程.2.能灵活运用线性回归方程解决有关实际问题.三、德育渗透目标1.培养学生辩证唯物主义观点(动与静、数与形、分与合等辩证观),培养学生数形结合、函数与方程的数学思想.2.培养学生分析问题、解决问题的能力,收集信息和处理信息的能力.3.培养学生具有“学生活的知识、学生存的技能、学生命的意义”的新学生观.教学重点线性回归的基本思想和方法是本节课的重点内容,我们研究的是回归分析中最简单,也是最基本的一种类型一元线性回归分析,它不仅有着广泛的直接应用,而且是进一步学习回归分析的基础.例如,多元线性回归分析的原理与一元线性回归分析的原理是一样的,一些非线性回归问题可以转化成线性回归问题来进行解决.教学难点回归直线方程是本节课的教学的难点.我们是用配方法来求回归直线方程的.配方法在解决一些涉及二次多项式的问题时有着重要的作用,用配方法进行这种推导虽然看上去较为复杂,但解决问题的思路却是较为清楚的.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已掌握并能灵活运用配方法研究二次函数的最值问题的背景下,我们推导回归直线方程.利用已知函数表达式的概念,建构相关关系和回归分析,初步完善学生的认知结构.教具准备幻灯机、幻灯片两张(或实物投影仪)第一张：(记作1.6.1 A)问题1.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如下表所示的一组数据：(单位：kg)施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455第二张：(记作1.6.1 B)问题2.一个工厂在xx年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1)画出散点图;(2)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程.第三张：(记作1.6.1 C)在10年期间,一城市居民的年收入与某种商品销售额之间的数据关系如下：第几年12345城市居民年收入x (亿元)32.231.132.935.837.1某商品销售额y(万元)25.030.034.037.039.0第几年678910城市居民年收入x(亿元)38.039.043.044.646.0某商品销售额y(万元)41.042.044.048.051.0(1)画出散点图;(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求y与x之间的回归直线方程.教学过程.课题导入以前我们学过两个变量之间的关系,如正方形的面积S与边长x之间的关系S=x2就是一种确定性的关系,即对于自变量边长x的每一个确定的值,都有唯一确定的面积的值与之对应.我们学习过的函数关系就是两个变量之间的确定性关系.但我们日常生活和生产实践、科学实验中经常遇到两个变量之间的关系是属于确定性关系之外的关系,即不确定性的关系,把这种关系定义为相关关系(板书),对这样两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析(板书).这就是我们今天学习的内容(板书课题)：线性回归(一).讲授新课1.讲解基本内容师(打出幻灯片1.6.1 A)我们来看看一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系.表中是7块并排、形状大小相同的试验田,实质就是一块农田,7次不同的施肥试验.从这个表中的数据可以看出,水稻产量不仅受到施肥量的影响,还受到其他不少因素(诸如气候情况、浇水、除虫等)的影响.因此,当施肥量一定时,水稻产量在取值上带有一定的随机性.请问,什么叫做两个变量之间的相关关系？什么叫做回归分析？生1当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.生2对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.如上述农田的水稻产量与施肥量之间的关系,这两个量的统计分析就是回归分析.师在现实生活中存在着大量的相关关系.你能举出一些实例吗？(先给一定的时间,让同学们讨论,然后再回答)生3人的身高和年龄是一对相关关系,因为在某一个年龄上,人的身高在取值上带有一定的随机性.生4某公司的产品成本与生产数量是一对相关关系.因为生产数量一定时,产品的成本在取值上具有一定的随机性,这与市场上生产原料的价格、劳动力的价格是相关的,故具有随机性.生5期中考试数学成绩与复习时间的投入量的关系是相关关系.这是因为当复习时间投入一定量时,数学成绩的取值具有一定的随机性,如可能受到当天的身体状况、心情问题、周边环境的影响.生6目前各家商场都进行促销活动,商品的销售额与广告费是相关关系.当广告费一定时,商品的销售额的取值具有一定的随机性.如受到天气的限制、人流量的限制、其他商场促销活动的影响.生7家庭的支出与收入是相关关系.这是因为,一个家庭的经济收入状况是确定的,但支出问题是具有随意性的.例如生活用品(菜、米、面、油即衣食住行所需要的钱)是随机的,另外,礼尚往来等礼节过程所需要的支出都是随机的.师同学们举的例子都是我们日常生活中常常遇到的问题.同学们能否从这些实例中总结出规律？生8相关关系的定义,即当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性,也就是说这两个变量的关系是非确定的.师总结得很好！其实,这些实例中的两个变量中,都是一个变量为可控制量,另一个变量为随机变量.请问,日常生活中有没有两个变量均为随机变量的呢？你能举出这样的实例吗？生9例如,在研究我的数学成绩与英语成绩的关系时,这两个变量都是不可控制的随机变量.师对！非确定性关系有两种情况,一是两个变量中,一个变量为可控制变量,另一个变量为随机变量；二是两个变量均为随机变量.现在我们再来对上述表格中的数据进行分析,你们能将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点吗？生10(到黑板上画,其余同学在位上画)以x值为横坐标,y值为纵坐标,作出的图象如下.图120师像图(1)中这样表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.你们发现有什么特点吗？生11可以发现,图(1)中的各个点,大致分布在一条直线的附近,如图(2)所示.(这个学生走到黑板上画出一条直线,用彩色粉笔)生12我们还可以画出若干条直线来,不也可以吗？师可以,像图(2)中的直线,可以画出不止一条,那么其中哪一条直线最能代表变量x与y之间的关系呢？生(众生齐声回答)用待定系数法,设出直线方程y=ax+b,利用点到直线距离公式进行检验.师这个想法很好！直线是不定的,点又这么多,如何检验呢？(对这种思想方法进行改进推出一般情况)一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n组观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,我们来求在整体上与这n个点最接近的一条直线.生13设所求的直线的方程为=ax+b,其中a、b是待定系数.于是,当变量x取一组数值xi(i=1,2,n)时,相应地求出,看yi-偏差程度,对于整体n而言,得到n个差值,这n个差值有正有负或零,我们将它们相加起来即可.师可以,这种构造思想很好,看拟合值与真实值的差值.如果将它们相加会造成相互抵消,因此它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度.为了解决“最近的问题”,我们应该采取什么方法呢？生14绝对值相加,即|y1-|+|y2-|+|yn-|.生15我是想利用平方相加,即|y1-|2+|y2-|2+|yn-|2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.师这种思路是非常正确的,这种信息转化也是十分重要的.接下来的就是如何求得系数a、b,使得|y1-|2+|y2-|2+|y3-|2+|yn-|2=Q取得最小值.生16将x1,x2,xn代入,即求, 换成x1,x2,xn,然后配方求出最小值时a、b的值.师看来这种计算是很麻烦了,为了书写方便起见,我们先引进一个符号“”(读sigm),它表示若干个数相加.例如,可将x1+x2+xn记作,即表示从x1加到xn的和.这样n个数的平均数的公式可写成什么形式？这n个数的平方的平均数公式又是什么呢？生17,.师你能将,化简吗？生18.师正确.现在我们的问题是,求使取得最小值时a、b的值.上式是否可以化简呢？生19将yi=axi+b代入平方和式后,各项展开,再合并,得Q=1(yi2+a2xi2+b2-2axiyi-2byi+2xiab)在上式中,后两项与a、b无关,而前两项为非负数,因此要使Q取得最小值,当且仅当前两项的值均为0,即有,.这就是我们所要推导的公式.师他的推导过程虽然看上去较为复杂,但其解决问题的思路却较为清晰.先将字母b看成未知数进行一次配平方,再将字母a看成未知数进行一次配平方,最后根据非负的变量在等于0时取得最小值这一特点得出所求公式.这位同学坚忍不拔的毅力是我们大家学习的楷模.在平时学习中要培养自己的这种非智力因素.值得注意的是：在一般统计书中习惯用b表示一次项系数,用a表示常数项,这正好与我们所表示一次函数的习惯相反,而所求的直线方程常设为=bx+a.于是在上面的推导过程中的a、b的值应该交换,即完全符合统计书上的习惯的规定.我们将所得到的方程叫做回归直线方程,相应的直线叫做回归直线,而对两个变量所进行的上述统计分析叫做线性回归分析.我们看到,求出了这种具有两个变量的回归直线后,就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间的整体关系的了解.2.课本例题例1(教师打出幻灯片1.6.1 A)求出问题1的回归直线方程.可以借助科学计算器,完成下表中的xiyi,的有关计算.生20i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475,生21利用公式可求得,a=399.3-4.7530257,因此所求的回归直线方程是=4.75x+257.师同学们,根据方程可以画出相应的回归直线,同学们自己画.根据这个回归直线方程,可以求出相应于x的估计值.例如当x28(kg)时,y的估计值是多少呢？生22=4.7528+257=390(kg).例2(师打出幻灯片1.6.2 B)师请学生读题并分析.生23先在直角坐标系中画出散点图,然后按照要求只要求b与a的值,先求出xiyi, ,的值,再求b与a.师思路完全正确,请同学们先计算,然后请两位同学到黑板写.生24解：(1)画出的散点图如图所示.图121生25(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算.i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50xiyi2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245,.于是可得,因此所求的回归直线方程是=1.215x+0.974.师两位同学书写的都很规范.以后就要按这种格式来解题.课堂练习师(打出幻灯片1.6.1 C)请一位同学读题并分析已知、求解及解题策略.生26已知xi,yi的值,一是要画出散点图,二是要求出有关参数如,的值,最后求出a、b的值.生27解：(1)散点图如下所示：图122(2)i12345678910xi32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0yi2530.034.037.039.041.042.044.048.051.0xiyi8059331118.61324.61446.91558163818922140.82346,.于是可得.a=-b=39.1-1.44737.97-15.843.因此,所求的回归直线方程是=bx+a=1.447x-15.843.课时小结本节课我们学习了线性回归的几个基本概念.两个变量之间的相关关系,回归分析,散点图,回归直线方程=bx+a,回归直线,线性回归分析.共同探讨了已知各数据xi、yi如何求回归直线方程,其推导方法是利用配方法.课后作业课本P42习题1.6第1题.板书设计1.6.1线性回归(一)一、几个概念1.相关关系2.回归分析3.散点图4.线性回归方程5.回归直线6.线性回归分析二、线性回归方程=bx+a,.问题1的线性回归方程b=4.75,a=257,=4.75x+257.当x=28时, =390(kg).问题2的线性回归方程b=1.215,a=0.974,=1.215x+0.974.练习题答案.