2019-2020年高中数学《函数模型及其应用》教案8 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中数学函数模型及其应用教案8 新人教A版必修11.几类不同增长的函数模型：（1）一次函数模型：f(x)=kx+b (k,b为常数,k0)；（2）反比例函数模型：f(x)=(k ,b为常数,k0);(3)二次函数模型：f(x)= ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);(4)指数函数模型：f(x)= abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1);(5)对数函数模型：f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数，a0，a1),(6)幂函数模型：f(x)=axn+b(m,n,b为常数，a0，n1).注：学习时应收集一些生活中普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.2.几类函数模型增长差异：在区间（0，+）上，尽管函数y=ax (a1), y =ax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但他们的增长速度不同，随着x的增大，y=ax (a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而且y = ax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0,当x x0时，就有ax xn ax.注：以上结论要结合几个特殊函数(y=2x, y=2x和y=x2）的图像进行理解：如图，刚开始函数y=2x增长的最快，随后增长的速度越来越慢；而函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快，函数y=2x 和y=x2的图像有两个交点（2，4）和（4，16）。在x（2，4）时，2x2x x2,在x（0，2）（2，4）时，2x x24时，总有2x x22x.3.解函数应用题的方法：一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象。这一方法即是数学建模，这也是本节内容的一个难点. 数学建模的一般过程大致可以分为现实问题的数学化、模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证四个阶段。这四个阶段实际上是完成从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程，如图所示：实际应用（现实原型）数学问题（数学模型）实际解答（理论预期）数学模型解答数学化验证求解实际解释数学化是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表、过程、现象等各种信息，将现实问题翻译转化为数学问题，并用数学语言将其准确地表示出来.求解是指利用已有的数学知识，选择适当的数学方法和数学解题策略，求出数学模型的解答.解释是指把数学语言表述的解答翻译转化为现实问题，给出实际问题的解答.验证是指用现实问题的各种信息检验所得的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学模型的准确性.上图直观地显示了现实问题和数学模型之间的关系，即数学模型是将现实问题的信息加以数学化的产物，熟悉模型来源于现实、有超越于现实，它用精确的语言揭示了现实问题的内在特性。数学模型经过求解，得到数学形式的解答，再经过一次转化到现实问题，给出现实问题的决策、预报、分析等结果，最后这些结果还要经受实践的检验，完成由实践到理论再到实践这样一个不断循环、不断完善的过程，如果检验结果基本正确或者与实际情况的拟合度非常高，就可以用来指导实践，反之则应重复上述过程重新建立模型或者修正模型.4.根据收集的数据直接去解决问题的过程：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复第三、四、五步；如符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题。举例说明：根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国xx年的人口数.时间（年份）人口数（百万）18303.93018405.30918507.24118609.639187012.867188017.070189023.193190031.444时间(年份) 191019201930194019501960197019801990人口数(百万）38.55950.15662.94975.99691.973105.712122.712131.670142.698分析：这是一个确定人口增长模型的问题。一个国家的人口数与众多因素有关。为使问题简化，我们作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由其人口的生育、死亡引起，与外界移民无关；（3）该国的人口数量变化是连续的；（4）该国的每一个人有相同的生育能力和死亡机率。基于上述假设，我们认为人口数量是时间的函数.记时间为t,t时刻的人口数为P(t).建模思路是，根据给出的数据资料绘出散点图，然后找出一条直线或曲线，使它们尽可能与这些点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步做出预测.观察散点图，从整体趋势看，可以认为散点近似分布在一条以直线t=1830为对称轴的抛物线上，选两点（1830，3.930）、（1930，62.949） 可定出该抛物线方程为P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2 此即欲建的人口增长抛物线模型.我们还可以认为散点近似分布在一条指数曲线上，我们取1970，1980这两年确定方程（而用1990年的数据作检验）。因此，过两点（1970，122.776）,(1980,131.670)求得指数方程为P(t)=122.776，此即该国人口增长的指数模型.通过1990年的人口数据的检验，其误差分别为8.59%和1.07% .所以，我们认为第二个模型精确度更好。选取第二个模型预测该国到xx年的人口预测数为P（xx）=157.824.