2019-2020年高一数学第五章平面向量同步辅导教案.doc

2019-2020年高一数学第五章平面向量同步辅导教案第1讲 向量及向量的加法与减法学习指导： 1、向量（1）定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等（2）向量的表示方法： 几何表示法：点和射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 （注意起讫） 字母表示法： 可表示为 （印刷时用黑体字） 例 用1cm表示5n mail（海里）（3）模的概念：向量 的大小长度称为向量的模。 记作：| |，模是可以比较大小的 注意：数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2、向量的加法与减法 （1）向量的加法的定义：已知向量 ，在平面内任取一点A，作 ，则向量 叫做向量 的和。记作： 即 零向量与任意向量 ，有 （2）两个向量的和向量的作法： 三角形法则:两个向量“首尾”相接注意：1三角形法则对于两个向量共线时也适用；2两个向量的和向量仍是一个向量例已知向量 ，求作向量 作法：在平面内任取一点O，作 ，则 平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量 为邻边作平行四边形BCD，则以A为起点的向量 就是向量 的和。这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用（3）向量和与数量和的区别： 当向量 不共线时， 的方向与 不同向，且 当向量 同向时， 的方向与 同向，且 当向量 反向时，若 ，则 的方向与 同向，且 ；若 ，则 的方向与 反向，且 ；4向量的运算律：交换律： 证明：当向量 不共线时,如上图，作平行四边形ABCD，使 ， 则 , 因为 ， 所以 当向量 共线时，若 与 同向，由向量加法的定义知： 与 同向，且 与 同向，且 ，所以 若 与 反向，不妨设 ，同样由向量加法的定义知： 与 同向，且 与 同向，且 ，所以 综上， 结合律： 由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了例如： 例如图，一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为 ，求船实际航行的速度的大小与方向。解：设 表示船垂直于对岸的速度， 表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船实际航行的速度在 中， ， 所以 因为 答：船实际航行的速度的大小为 ，方向与水流速间的夹角为 注意：（1） 是一个向量，在三角形法则下：平移 向量，使 的起点与 的终点重合，则 就是以 的起点为起点， 的终点为终点的新向量（2）一组首尾相接的向量和： ，如图（3）对任意两个向量 、 ，任有 成立（4）向量减法相反向量：与 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量注意：1 与 互为相反向量。即 2任意向量与它的相反向量的和是零向量。即 3如果 、 是互为相反向量，那么 与 的差：向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差即 向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法 的作法：已知向量 、 ，在平面内任取一点O，作 ，则 。即 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量 思考：为从向量 的终点指向向量 的终点的向量是什么？（ ）小结：（1）相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：（2）向量减法有两种定义：将减法运算转化为加法运算： 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果 ，则 从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点典型例题：例1下列各量中是向量的有_.A 动能 B 重量 C 质量 D 长度 E 作用力与反作用力 F 温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.例2命题“若 ， ，则 ”（ ）A总成立B当 时成立C当 时成立D当 时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件零向量与其他任何非零向量都平行，当两非零向量 、 不平行而 时，有 ， ，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C答案：C小结：本例说明向量平行的传递性要成立，就需“过渡”向量 不为零向量事实上，在 的情况下： 时， ， 与 同向或反向又 ， 与 同向或反向， 与 同向或反向， 若 与 中有一个为零，则另一个无论为零还是不为零，均有 由以上可以确定 是正确的 例3如图， 、 、 分别是 的三边 、 、 的中点，写出与 共线的向量分析：要注意到线段 是 的中位线，与 共线的向量的主要特性是与 平行，结合中位线的性质可以得出结论解：与 共线的向量有 、 、 、 、 、 、 小结：应注意共线向量就是平行向量，所以在图中凡是与 共线或平行的有向线段所表示的向量都是与 共线的向量 例4如图， 、 是 上的八个等分点，则在以 、 及圆 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少？模等于半径 倍的向量有多少个？分析：（1）由于 、 是 上的八个等分点，所以八边形 是正八边形，正八形的边及对角线长均与 的半径不相等所以模等于半径的向量只可能是 与 （ 、28）两类（2） 内接正方形的边长是半径的 倍，所以我们应考虑与圆心 形成 圆心角的两点为端点的向量个数解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是 （ 、28）共8个；另一类是 （ 、28）也有8个两类合计16个（2）以 、 为顶点的 的内接正方形有两个，一个是正方形 ；另一个是正方形 在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的长度为半径的 倍所以模为半径 倍的向量共有 个小结：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算 与 （ 、28）两类一般地我们易想到 （ 、28）这8个，而易遗漏 （ 、28）这8个（2）圆内接正方形的一边对应了长为 的两个向量，例如边 对应向量 与 ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算认为满足条件的向量个数为8是错误的例5如图所示，已知向量 ，试求作和向量 分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和即先作 ，再作 解：如图所示，首先在平面内任取一点 ，作向量 ，再作向量 ，则得向量 ，然后作向量 ，则向量 即为所求小结：此题的目的主要在于用几何作图熟悉加法的三角形法则及对结合律的认识例6化简下列各式(1) ； (2) 分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法是利用几何方法通过作图实现化简；是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量解： (1)原式= (2)原式= 小结：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个向量的和，同样任一向量都可以分成两个向量的差等通过这种调整来简化运算例7用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB求证：四边形ABCD是平行四边形证明：由已知得 ， ，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形小结：这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误的转换为平面向量的语言，如本题中 ，而不能写 例8证明：对于任意两个向量 都有 分析：由于不等式本身有明显的几何意义，故应选用向量的几何意义进行证明可根据向量 共线与不共线两种情况进行讨论证明：若 中有一个为零向量，则不等式显然成立若 都不是0时，记 ，则 (1) 当 不共线时，如图4甲所示，则有 即 (2) 当 共线时，若 同向，如图4乙所示， ，即 ；若 反向，如图4丙所示 ，即 综上可知 小结：两个向量之间无大小可言而两个向量的长度之间可以比大小此不等式一般称为三角不等式，它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值在证明之后还可以让学生一起讨论不等式中两个等号成立的条件例9设a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km“说明下列向量的意义(1)a+b (2)b+d (3)d+a+d分析：根据实际意义来确定向量的方向，再根据三角形法则进行加法运算解：(1) a+b表示向东走5km (2) b+d表示向西南走 km(3) d+a+d表示向东南走 km小结：关于向量的加法实际就是向量的合成，而向量的合成在实际中有着广泛的应用，此题就是初步了解其应用例10如图，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为60 且有一力方向水平，求合力的大小及方向 分析：首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系解：设 分别表示两力，以 为邻边作平行四边形OACB，则 即为合力由已知可得OAC为等腰三角形，且 过A作 于 ，则在 中， 故 ，即合力的大小为 ，方向与水平方向成30角小结：在这种向量的合成中注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以巩固练习一、选择题：1如图，四边形 ，其中 ，则相等的向量是（ ）A 与 B 与 C 与 D 与 2下列命题中，正确的是（ ）A B C D 3下列各命题中假命题的个数为（ ）向量 的长度与向量 的长度相等向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同两个有共同终点的向量，一定是共线向量向量 与向量 是共线向量，则点 、 、 、 必在同一条直线上有向线段就是向量，向量就是有向线段A2 B3 C4 D54在下列各结论中，正确的结论为（ ）两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件A、 B、 C、 D、5下列命题，真命题的个数为（ ）两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同若非零向量 与 是共线向量，则 、 、 、 四点共线若 且 ，则 四边形 为平行四边形的充要条件是 A0 B1 C2 D36在矩形 中， ， 、 分别为 和 的中点，则在以 、 、 、 、 、 为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）A9 B11 C18 D247下列各命题为真命题的有（ ）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量坐标平面上的 轴和 轴都是向量A个 B2个 C3个 D4个8下列各式正确的是（ ）A若a、b同向，则 B 与 表示的意义是相同的C若a、b不共线，则D 永远成立9 等于（ ）AB0CD 10若a、b、ab均为非零向量，且ab平分a与b的夹角，则（ ）A B C D以上都不对11下列命题如果a与b的方向相同或相反，那么的方向必与a、b之一的方向相同。ABC中，必有 0。若 0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。若a、b均为非零向量，则 与 一定相等。其中真命题的个数为（ ）A0B1C2D312已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量 等于（ ）A BC D 13如图，在四边形ABCD中，设 ，则 等于（ ）AB CD 14设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（ ）Aa与b的长度必相等B Ca与b一定不相等Da是b的相反向量15 可以写成： ； ； ； ，其中正确的是（ ）ABCD16在以下各命题中，不正确的命题个数为（ ） 是 的必要不充分条件；任一非零向量的方向都是惟一的； ；若 ，则 0；已知A、B、C是平面上的任意三点，则 0。A1B2C3D417某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则 （ ）A向东南走 kmB向东北走 kmC向东南走 kmD向东北走 km18若 ，则 的取值范围是（ ）AB（3，8）CD（3，13）二、解答题1如右图，在以正方体 的顶点为起点、终点的向量中，（1）写出所有与 相等的向量；（2）写出所有与 相反的向量；（3）写出与 相等及相反的向量；（4）写出所有与 共线的向量2在直角坐标系中，画出下列向量：（1） ， 的方向与 轴正方向的夹角为 ，与 轴正方向的夹角为 ；（2） ， 的方向与 轴正方向的夹角为 ，与 轴正方向的夹角为 ；（3） ， 的方向与 轴正方向的夹角为 ，与 轴正方向的夹角为 3如图所示，在 ABCD中，已知 ，用a、b表示向量 、 。4如图所示，已知在矩形ABCD中， ，设 。试求 。5如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点。若 ，试证明： 。6在无风时，飞机的航速为320km/h，现在飞机朝东飞行，而风以80km/h的速度向北吹。求飞机的实际航速和航向。参考答案一、选择题1D 2C 3C 4D 5B 6D 7B 8A 9B 10B 11B 12B 13A 14C 15D 16A 17B 18C二、解答题1（1） 、 、 是与 相等的向量；（2） 、 、 、 是与 相反的向量；（3） 与 相等， 、 与 相反；（4） 、 、 、 、 、 、 与 共线23由于 ，而 ，所以 。由于四边形ABCD为平行四边形，所以 。4 。延长BC至E，使 ，连DE。由于 ，四边形ACED是平行四边形， ， ， 。5证明：6飞机的实际速度是飞机速度与风速的向量和，飞机的实际航速是330km/h，航向是北偏东7558。第2讲 实数与向量的积学习指导：1、实数与向量的乘积：“实数与向量的积”可以看成是实数乘积概念的推广实数与向量的乘积仍是一个向量，记号为，其长度与方向规定为：|=|；当0时，与方向相同，当0）且从x轴的正向按逆时针方向旋转到向量的角为60，试求向量的坐标解：设的坐标为（x，y)，则x=r cos60=r， y=rsin60=r故向量的坐标为（r，r）讲评： 一般的，若以原点为起点的向量的模为r，且从x轴正向到的角为，则的坐标为（rcos，rsin)例2 设梯形ABCD的顶点坐标为A(-1，2)，B(3，4)，D(2，1)，且ABDC，|AB|=2|CD|，求点C的坐标解：设点C的坐标为(x，y)，由于向量=(3+1，42)=(4，2)，=(x2，y1)， ，|AB|=2|CD|， (4，2)=(2x4，2y2)解得 x=4，y=2即点C的坐标为(4，2)讲评：本题利用了两向量共线的充要条件：存在一个实数，使=再用实数与向量的积的坐标表示方法得解例3 设点C(2a-1，a+2)在连点A(1，3)、B(8，1)的直线上，求a的值解：若A、B、C三点共线，则向量、共线，故必存在实数，使=成立而=(81，1(3)=(7，2)，=(2a11，a+2(3)=(2a2，a+5)，于是得： 解之得， 即a=13讲评 平面上三个互不重合的三点A（x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是(x3x1)(y2y1)=(x2x1)(y3y1)如用此条件，就有(2a11)(1(3)=(81)(a+2(3)，就是2(2a2)=7(a+5)，即得a=13例4 设点O为原点，A(2，1)，B(4，6)，且=t+(1t)，若点P在x轴上，第一象限的角平分线上，第四象限，试求t的取值解 =t+(1t) =t(2，1)+(1t)(4，6)=(42t，65t) 当点P在x轴上时，65t=0，得t=； 当点P在第一象限的角平分线上时，42t=65t0，解得t=; 点P在第四象限内时，有42t0且65t0，得t2即当t=时点P在x轴上；当t=时点P在第一象限的角平分线上；当t0)，往往可设=(rcos，rsin)例6 设=(-2，3)， 求与平行的单位向量的坐标； 求与垂直的单位向量的坐标解 设与平行的单位向量为=(-2，3)则(-2)2+(3)2=1解得=，于是与平行的单位向量的坐标为1=(-，)，或2=(，-) 设与垂直的单位向量为=(3，2)则得(3)2+(2)2=1解得=于是与垂直位向量为1=(，) 及2=(-，-)讲评 设=(x，y)，则与平行的向量可以写为(x，y)；与垂直的向量可以写为(y，-x)其中为任意实数例7 在ABC中，设=(2，3)，=(1，k)；且ABC是直角三角形，求k的值分析 题中只说ABC是直角三角形，但末指定哪个角是直角，故要讨论；解 若A=90，则，于是 21+3k=0，解得k= -； 若B=90，则，但=-=(-1，k-3)，故得2(-1)+3(k-3)=0，解得k=； 若C=90，则，故1(-1)+k(k-3)=0，解得k=综上可知，k= -， ， 讲评 分类思想是一种基本的数学思想巩固练习一、选择题：1、若=(0，1)，=(1，1)，且(+)，则实数的值是 （ ） A -1 B 0 C 1 D 22、已知=(x，2)，=(3，2-x)，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 （ ） A x-4 B -4x0 C 0x43、已知 =(1，2)，=(x，1)，且(+2)(2-)，则x= ( ) A B C 2 D 14、若|=4，|=3，且= -6，则与的夹角是 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150二、填空题：5、 若 |=4，与的夹角=135，则在方向上的投影= ； 6、 已知=(2，-1)，=(3，-2)，则(3-)(+3)= ； 7、 给定两个向量=(3，4)，=(2，-1)，且(+x)(-)，则x= ； 8、 若|=2，=(3，-4)，且，则= ；9、 若与都是非零向量，则2+2与2的大小关系是：2+2 2；10、若P(cos，sin)，Q(2cos，2sin)，则|的最小值为 ；最大值为 三、解答题：11、已知 |=1，|=，+=(，1)，试求|-|及+与-的夹角12、设=(x，3)，=(2，-1)，求x的取值范围 若与的夹角为锐角； 若与的夹角为直角； 若与的夹角为钝角13、设ABC的A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为AD，试求点D及向量的坐标14、已知：ABC的=(2，1)，=(2，4)，求三角形三个内角的值(用反三角函数表示)；15、已知正方形OABC，且D是AB的中点，、E是BC边上的点，若DOE=45，试求点E分BC的比参考答案一、选择题：1、 A 2、 A 3、 B 4、 C二、填空题：5、 -2 6、 40 7、 8、 (，-)或(-，) 9、 10、 1与3三、解答题：11、由|-|2+|+|2=2(|2+|2)，得|-|=2；又设+与-的夹角为，则 cos=，于是得=12012、= 2x-3，当2x-30时即x时与的夹角为锐角；当2x-3=0，即x=时与的夹角为直角；当2x-30，即x0，得=2第5讲 线段的定比分点和平移学习指导： 1、线段的定比分点是本节的难点，首先要明确“定比”的意义，要搞清楚究竟是哪两条线段的比等于定比：同一直线上的三个点，每个点都可以做起点、终点与分点只要规定好三个点中谁是起点、谁是终点、谁是分点，就可以得出相应的定比起点、终点、分点选择不同，得到的定比也不同例如，点P1、P2、P在同一条直线上，规定了点P1是起点，点P2是终点，点P是分点，相应的定比为，有=；但如果换成P2为起点，P1为终点，P为分点，则相应的定比1满足=1，而1=；由于同样的三个点，只是起点、终点、分点规定不同(可有6种可能的规定方法)，得到的定比值也不同(就有6种可能的值)，所以