2019-2020年高一数学 2.7对数（备课资料） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高一数学 2.7对数（备课资料） 大纲人教版必修一、对数定义解释1.如果a（a0且a1）的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底的对数，记作：logaNb（a0且a1)2.对数定义中为什么规定a0且a1呢?因为：(1)若a0时，则N为某些值时，b值不存在.如：blog28不存在.(2)若a0时，N不为0时，b不存在.如log02不存在(可解释为0的多少次方是2呢?)N为0时，b可以是任何正数，是不惟一的，即log00有无数个值.(可解释为0的任何非零正次方都是零)(3)若a1时，N不为1时，b不存在.如log13不存在.N为1时，b可以为任何数，是不惟一的，即log11有无数多个值.因此，规定：a0且a1.二、参考例题例11000的常用对数记为a；的自然对数记为b；则a、b的大小关系是A.ab B.abC.abD.不能确定解：由题意知：alg1000lg1033.blne1.显然ab，故选A.例2若2.5x1000，0.25y1000，则 .解：由2.5x1000，得xlog2.51000.由0.25y1000得ylog0.251000log10002.5log10000.25log1000log100010.例3设M0，1，N11a，lga，2a，a，是否存在a的值，使MN1？解：由题意，须使集合N中有一个元素1.若11a1，则a10.这时lgalg101.这与集合中元素互异矛盾.a10；若2a1，则a0，此时lga无意义，2a1；若lga1，则a10与（)情形相同；若a1，这时11a10，lgalg10，2a2.N10，0，2，1.此时MN0，1，这与MN1矛盾.综上所述：不存在a值，使MN1.评述：此题之所以分类讨论，是因为“1”元素所对应的集合中元素不确定，应要求学生通过此题体会数学中的分类讨论思想.三、参考练习题1.求下列各式中的x.（1） log8x=; (2)logx27=;(3)log2(log5x)=0;(4)log3(lgx)=1.解：（1）由log8x=得x=即x=.(2)由logx27=得=27,即=33故x=34=81.(3)由log2(log5x)=0得log5x=20=1,故x=51=5.(4)由log3(lgx)=1,得lgx=3故x=103=1000.2.(1)求log84的值.（2）已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.分析：本题考查对数的定义、对数式与指数式的互化，及利用互化解题.解：（1）设log84=x,根据对数的定义有8x=4.即23x=22,x=,即log84=.另法：log84=22=log22=；(2)loga2=m,loga3=n.am=2,an=3,则a2m+n=(am)2an=223=12.评述：此题不仅是简单的指、对数互化.同时还涉及到常见的幂的运算法则的应用.备课资料参考练习题1.下列各式正确的个数是log4162 log164 log101002 log100.012A.0 B.1 C.2 D.4解：log416log4422，正确.log16，正确.log10100log101022，正确.log1010-22，正确.故选D.2.以下四个命题中是真命题的是若log5x3，则x15；若log25x，则x5；logx0，则x；若log5x3，则xA. B.C.D.解：若log5x3，则x5315，错误.若log25x，则x5，正确.若logx0，则x不存在，错误.若log5x3，则x5-3，正确.故选C.3.当a0且a1，x0，y0，nN*，下列各式不恒等的是A.loganxlogaxB.logaxnlogaC.xD.logaxnlogaynn（logaxlogay）解：logax不恒为1，x不恒成立故选C.4.已知lgalgb（a0，b0），那么A.abB.ab或ab1C.abD.ab1解：由lgalgb，得lgalgb或lgalgbab或a即ab或ab1故选B.5.log6log4（log381） .解：原式log6log4（log33）4log6（log44）log610.6.若loglog3（lnx）0，则x .解：loglog3（lnx）0，log3（lnx）1lnx3，xe3.7.log2 .解：=log2)=log2=log24=28.若a0,a1,x0,y0,xy,下列式子中正确的个数是（1）logaxlogay=loga(x+y);(2)logaxlogay=loga(xy);(3)loga=logaxlogay;(4)logaxy=logaxlogay.A.0 B.1C.2 D.3分析：对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算.如：logaxlogax,logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.应选A.9.对于a0,a1,下列说法中，正确的是若M=N，则logaM=logaN;若logaM=logaN,则M=N；若logaM2=logaN2,则M=N;若M=N，则logaM2=logaN2.A. B.C.D.分析：在中，当M=N0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM=logaN不成立.在中，当logaM=logaN时，必有M0,N0,且M=N.因此M=N成立.在中，当logaM2=logaN2时，有M0,N0,且M2=N2，即|M|=|N|，但未必有M=N.例如，M=2，N=2时，也有logaM2=logaN2,但MN.在中，若M=N=0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2=logaN2不成立.只有成立，应选C.评述：正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件.10.若a0,a1,xy0,nN*,则下列各式：（logax)n=nlogax；(logax)n=logaxn；logax=loga；logaxn=nlogax；loga=loga其中成立的有（ ）A.3个 B.4个C.5个 D.6个分析：由loga=logaxlogay,logaxn=nlogax,知是错误的.解：正确，应选B.评述：默写所有对数公式，对照检查是否正确，对遗漏的公式进行证明，进一步加强理解，在此基础上加强记忆，公式一定要记住、记熟，在此基础上会用、用活.备课资料参考练习题1.计算下列各式：(1)lg12.5lglg0.5；(2) ；（3）.分析：可以利用对数运算性质，将每项展开，达到相消或相约而求值；也可以利用对数的运算性质，将真数合并.解法一：(1)原式lg100lg23lg10lg24lg1lg2lg1023lg214lg2lg2211.(2)原式；(3)原式3.解法二：(1)原式lg101；(2)原式3；(3)原式3.2.选择题（1）的值为（ ）A. B. C. D.解： .故选C.(2)2比大（ ）A.3B.4C.5D.6解：22log10a2lga.又lglgalg100lga2，22lga（lga2)2lgalga24故选B.(3)已知3a5bA，且2，则A的值为（ ）A.15B.C. D.225解：3a5bA，alog3A，blog5A，logA3，logA52logA3loga52 logA352，A215，A又A0，A 故选B.(4)如果log8alog4b25，log8blog4a27，那么log2（ab）的值为（ ）A.1B.3C.5D.9解：log8alog4b25，log8blog4a27，（log8alog8b）（log4b2log4a2）12log8（ab）log4（ab）212log8（ab）2log4（ab）121212log2（ab）12log2（ab）129故选D.3.已知log23a，3b7，试用a、b的式子表示log1256.解：由log23a得a，由3b7得blog37b.log1256=.备课资料一、对数式化简的基本思路例1不查表，化简：log2log212log242.评述：化简这类式子，一般有两种思路：思路一：把48、12、42分解质因数，再利用对数运算法则，把log2、log212、log242拆成若干个对数的代数和，然后再化简.思路二：由于所给的对数的底数相同，可以把各对数合并成一个对数，然后再化简计算.解法一：原式log2log2（322）log2（723）log27log232log22log232log22log27log22log23log22.解法二：原式log2.评述：上面两种解题思路，一是“正向”，利用积、商、幂、方根的对数运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和，由于某些对数的相互抵消，使所给对数式得到了化简；二是“逆向”，运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数，由于真数部分的约简，使所给对数式得到了化简，上面的两种解法，简单地说，一是“分”二是“合”.例2化简解法一：先用“分”的方法原式解法二：再采用“合”的方法. 原式.评述：上面给出了一类对数式化简的两种方法，一是把真数分解质数，然后把对数分成若干个对数的代数和，最后进行化简；二是把同底的对数之和合并成一个对数，对真数进行化简.这两种解题思路，便是我们解决对数式化简问题的重要方法，在碰到这类问题时，要善于灵活地选用上述方法.二、参考例题例题的值是（ ）A. B.1 C. D.2解：利用换底公式及对数运算性质可得：原式，故选A.三、参考练习题1.求下列各式中x的取值范围：（1）log(x1)(x+2);(2)log(12x)(3x+2).分析：在logaN=b中，必须a0,a1,N0,由此可列出不等式组，求出字母的取值范围.解：（1）令故x的取值范围是x|x1且x2.(1) 令故x的取值范围是x|x,且x0.评述：解此类问题一定要考虑全面，不仅要考虑对真数的限制，尤其不能忽视底的范围.2.若集合x,xy,lg(xy)=0,|x|,y,则log8(x2+y2)= .解法一：根据集合中元素的互异性，在第一个集合中，x0,第二个集合中，知道y0,第一个集合中的元素xy0,只有lg(xy)=0,可得xy=1然后，还有两种可能，x=y或xy=y由联立，解得x=y=1;或x=y=1,若x=y=1,xy=1,违背集合中元素的互异性，若x=y=1,则xy=|x|=1,从而两集合中的元素相同.由联立，解得x=y=1不符合题意.x=1,y=1,符合集合相等的条件.因此，log8(x2+y2)=log82=.解法二：由上述解法可判断lg(xy)=0,xy=1.又由集合中元素的特性，知xxy=|x|2y,y0x2=11.又由于x0,x=1当x=1时，y=1,此时不满足集合的特性.当x=1时，y=1,此时，符合集合相等的条件.评述：欲求log8(x2+y2)的值，须求出x,y的值，利用集合相等，求出x,y的值.3.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(1)=2,当xR时f(x)2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？分析：因为f(x)为二次式，所以对于xR有f(x)2x恒成立的实质是一元二次不等式f(x)2x0恒成立.则问题转化成求解二次式f(x)2x=0的判别式0.解：由f(1)=2得：f(1)=1(lga+2)+lgb=2,解之lgalgb=1,=10,a=10b.又由xR,f(x)2x恒成立.知：x2+(lga+2)x+lgb2x,即x2+xlga+lgb0,对xR恒成立，由=lg2a4lgb0,整理得（1+lgb)24lgb0即（lgb1)20,只有lgb=1,不等式成立.即b=10,a=100.f(x)=x2+4x+1=(2+x)23当x=2时，f(x) min=3.