2019-2020年高中数学 3.3.2 函数的极值与导数教案 新人教A版选修1-1.doc

2019-2020年高中数学 3.3.2 函数的极值与导数教案 新人教A版选修1-1三维目标 1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力3情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点(教师用书独具)教学建议 本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突极值好像是最值，又不是最值(2)激发探究欲望学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论教学流程(对应学生用书第58页)课标解读1.理解极值的定义(难点)2掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值(重点)3会根据函数的极值求参数的值(难点)极值点与极值【问题导思】函数yf(x)的图象如图所示1函数在xa点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】函数在点xa的函数值比它在点xa附近的其他点的函数值都小 .2f(a)为多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？【提示】f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.3函数在xb点处的情况呢？【提示】函数在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.1极小值点与极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.(对应学生用书第58页)求函数的极值求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)3ln x.【思路探究】【自主解答】(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x13，x21，如下表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值6f(x)极大值，f(x)极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值，并且f(1)3.1求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f(x)0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然2函数极值和极值点的求解步骤：确定函数的定义域；求方程f(x)0的根；用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况求函数y2x的极值【解】函数的定义域为(，0)(0，)y2，令y0，得x2.当x变化时，y、y的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)(0,2)2(2，)y00y88由表知：当x2时，y极大值8；当x2时，y极小值8.由函数的极值求参数已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值，且f(1)，求a、b、c的值【思路探究】(1)函数在x1和x时都取得极值，说明f(1)与f()的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a、b、c吗？【自主解答】f(x)3x22axb，令f(x)0，由题设知x1与x为f(x)0的解解得a，b2.f(x)3x2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)cc由上表知，函数在x1与处取得极值a，b2.f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1.已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解(2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证已知f(x)x33ax2bxa2在x1和x3处有极值，求a、b的值【解】由f(x)x33ax2bxa2，得f(x)3x26axb.又f(x)在x1和x3处有极值，f(1)3b6a0，f(3)2718ab0.联立，得f(x)3x26x93(x1)(x3)当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大极小f(x)在1,3处取极值，a1，b9符合题意.函数极值的综合应用已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围【思路探究】(1)能否由已知条件求出a值，确定f(x)？(2)直线ym与yf(x)的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m的范围？【自主解答】f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)193，f(3)171，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)1解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系2极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)a2a2由表可知函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a2大于极小值a2.(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a2时，方程恰有两个实数根(对应学生用书第60页)因未验根而致误已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a、b的值【错解】因为f(x)在x1时有极值0且f(x)3x26axb，所以即解得或【错因分析】解出a，b值后，未验证x1两侧函数的单调性而导致产生增根致误【防范措施】可导函数在x0处的导数为0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f(x)0而求出的参数需要检验，以免出错【正解】因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.1极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系2极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点3可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.(对应学生用书第60页)1下列说法正确的是()A函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C函数f(x)|x|只有一个极小值D函数yf(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)|x|只有一个极小值为0.【答案】C2函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图335所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图335A1B2C3 D4【解析】在(a，b)内，f(x)0的点有A、B、O、C.要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B符合【答案】A3函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】f(x0)0/ yf(x)在x0处有极值，但yf(x)在x0处有极值f(x0)0，应选B.【答案】B4求函数yx的极值【解】y1，令y0解得x1，而原函数的定义域为x|x0，当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)(0,1)1(1，)y00y极大值极小值所以当x1时，y极大值2，当x1时，y极小值2.(对应学生用书第111页)一、选择题1已知函数f(x)，xR，有唯一极值，且当x1时，f(x)存在极小值，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0【解析】f(x)在x1时存在极小值，则当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，应选C.【答案】C图3362(xx青岛高二检测)已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图336所示，则函数f(x)的极小值是()AabcB3a4bcC3a2b Dc【解析】由f(x)的图象可知，当x0时，函数取得极小值，f(x)极小值c.【答案】D3函数f(x)x33x23x()Ax1时，取得极大值Bx1时，取得极小值Cx1时，取得极大值D无极值点【解析】f(x)3x26x33(x1)20恒成立f(x)在(，)上是增函数，f(x)无极值【答案】D4(xx临沂高二检测)已知函数f(x)x3ax23x5在x3时取得极值，则a()A2B3C4D5【解析】f(x)3x22ax3，由题意：f(3)276a30a5.应选D.【答案】D5如图337所示是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx等于()图337A.B.C.D.【解析】函数f(x)x3bx2cxd图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d0，bc10,4b2c80，则b3，c2，f(x)3x22bxc3x26x2，且x1，x2是函数f(x)x3bx2cxd的两个极值点，即x1，x2是方程3x26x20的实根，xx(x1x2)22x1x24.【答案】C二、填空题6若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_【解析】y3x212x3x(x4)令y0得x10，x24.列表可知y极大f(4)32m13.m19.【答案】197若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_【解析】f(x)3x26ax3(a2)，由题意f(x)0有两个不等的实根，故(6a)2433(a2)0，解之得a2或a1.【答案】(，1)(2，)8(xx昆明高二检测)如果函数yf(x)的导函数的图象如图338所示，给出下列判断：图338(1)函数yf(x)在区间(3，)内单调递增；(2)函数yf(x)在区间(，3)内单调递减；(3)函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；(4)当x2时，函数yf(x)有极小值；(5)当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断中正确的是_【解析】由导函数的图象知：当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2,2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(2,4)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(4，)时，f(x)0，f(x)单调递增；在x2时，f(x)取极小值；在x2时，f(x)取极大值；在x4时，f(x)取极小值；所以只有(3)正确【答案】(3)三、解答题9求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)2.【解】(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值f(2)16极小值f(2)16所以当x2时，函数有极大值，且f(2)(2)312(2)16；当x2时，函数有极小值，且f(2)2312216.(2)函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值3极大值1所以当x1时，函数有极小值，且f(1)23；当x1时，函数有极大值；且f(1)21.10设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由【解】(1)因为f(x)aln xbx2x，所以f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，即解方程组得a，b.(2)由(1)知f(x)ln xx2x(x0)f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数取得极大值ln 2.所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点11设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？【解】(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时f(x)、f(x)变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知x取足够大的正数时有f(x)0，x取足够小的负数时有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点因此若yf(x)与x轴仅有一个交点，应有a0或a10.所以当a(1，)时曲线yf(x)与x轴仅有一个交点.(教师用书独具)已知函数f(x)ax2bln x，其中ab0，求证：当ab0时，函数f(x)没有极值点【证明】f(x)ax2bln x(ab0)f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax当ab0时，若a0，b0，则f(x)0，f(x)在(0，)上是单调递增的；若a0，b0，则f(x)0，f(x)在(0，)上是单调递减的当ab0时，函数f(x)没有极值点已知函数f(x)ax2bln x，其中ab0，求函数有极值时a、b满足的条件【解】f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.若函数f(x)有极值，首先f(x)0，即2ax2b0在(0，)上有根因为ab0，x2，所以当ab0时，2ax2b0在(0，)上有根x.又当a0，b0时，f(x)在x两侧的符号是左负右正，此时函数f(x)在x取得极小值；当a0，b0时，f(x)在x两侧的符号是左正右负，此时函数f(x)在x取得极大值综上，函数f(x)ax2bln x(ab0)有极值时，a，b所满足的条件是ab0.