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3.1 向量的概念及其运算,1. 设,解:,第三章 习题答案,解:,2. 已知,解:,3. 设,解:,4. 写出向量,的线性组合,其中:,(1),(2),(1),(2),5. 设向量组,问:,向量 可以由向量,写出其表达式.,线性表示?若可以，,解： 设,即,所以向量 可以由向量,则有:,解方程组得：,线性表示,3.2线性相关与线性无关,一.判断下列向量组的线性相关性,(1),解:,由于与对应分量不成比例,所以与线性无关.,(2),解:,由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关,(3),解:,向量组线性无关.,(4),解:,即有,也即有,由于齐次线性方程组的系数行列式,齐次线性方程组有非零解,由于,方法2:,所以,线性相关.,(5),因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性,解:,相关。,二. 填空题,(1) 已知向量组,线性相关,则k = _.,解:,则有:,即有:,2,即k =2时,(2) 设向量组,线性无关,则a,b,c 必满足关系式_.,abc 0,解:,要使,线性无关,则有,所以 a , b , c 需满足abc0.,n维单位向量组,(3),都可由向量组,线性表示,则r_ n .,解:,因为n维单位向量组,线性无关,且每个向量都能由向量组,线性表示,由课本72页推论1知:,三. 选择题,线性无关的充分必要条件是( ).,中必有两个向量的分量对应,(1)向量组,(A) 向量组,不成比例;,(B) 向量组,中不含零向量;,(C) 向量组,中任意一个向量都不能由其,余n-1个向量线性表示;,(D) 存在全为零的数,使,成立.,C,(2) 设,其中,则有( ).,(A) 向量组,是任意实数,总线性相关;,(B) 向量组,总线性相关;,(C) 向量组,总线性无关;,(D) 向量组,总线性无关.,C,四.,若已知向量组,证明,线性无关,线性相关.,由于向量组,证:,1、,线性无关,则,线性无关.,2、,线性无关.,(1),四.,若已知向量组,证明,线性无关,线性无关.,由于向量组,证:,1、,线性无关,线性相关.,2、,线性相关.,(2),令,3、,已知向量组,问,线性无关,是否线性无关？,解:,向量组,考察向量方程,3、,已知向量组,问,线性无关,是否线性无关？,当m为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关,解:,向量组,当m为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。,五. 设有向量组,问：向量 能否由向量组,唯一线性表示?,解:,由于向量组,线性相关,则向量,只要向量组,线性无关,唯一线性表示.,必可由向量组,线性无关.,唯一线性表示.,由于,所以向量组,因此向量 能由,向量组,六.,设已知向量组,向量组,线性相关,线性表示？证明你的结论。,解:,（1）,且表达式唯一。,（2）,(1),根据向量组线性相关性的性质可得：,线性无关，问,能否由,能否由,线性表示？证明你的结论。,线性表示,能由,因为,线性无关，,则,线性无关，,线性相关,又因为,线性表示,能由,六.,设已知向量组,向量组,线性相关,线性表示？证明你的结论。,用反证法证明：,解:,（1）,即：,（2）,(2),代入上式得：,线性无关，问,能否由,能否由,线性表示？证明你的结论。,由（1），可设,即,能由,线性表示,线性相关.,与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.,一.填空题,1 、若,解:,则向量组,由于,所以向量组,是线性_.,线性无关.,3.3 向量组的秩,此向量组的部分组,仍线性无关.,应填:无关.,无关,2、 设向量组()的秩为,向量组()的秩为,相等,解:,因为二向量组等价,则它们的秩相等.,应填:相等或,且() ,()，,二.选择题,1、若向量组,是向量组,的极大,线性无关组,则下列论断不正确的是 ( ).,解:,由于向量组,是向量组,的极大线性无关组,显然向量组,线性无关.,而向量组,线性相关,故,B,此外,由排除法知选项(B)错误.,故应选(B).,选项(A)正确.,选项(C)正确.,选项(D)也正确.,显然,2、 若向量组,的秩r ，则 （ ）,B,向量组,向量组,线性无关；,线性相关；,存在一个向量,可以由其余向量,线性表示；,任一向量都不能由其余向量线性,表示；,当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；,3 、若向量组,都是向,量组,则有( ) .,解:,同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数,是相同的.,故选项(C)正确.,C,的极大无关组,解:,根据向量组的秩与向量个数的关系：,当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；,选项(B)正确.,三. 求下列向量组的秩(必须有解题过程):,解:,解:,四. 求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余,向量用此极大线性无关组线性表示.,解:,无关组为,向量组的极大线性,且有:,2、,解:,向量组的极大线性无关组为：,且有:,五. 已知向量组,(1) 求,(2) 求向量组的一个极大线性无关组，并将其余,解:,的秩为3,的向量用极大线性无关组线性表示。,且,行化为零行，则向量组的极大线性无关组为,六.,设n维基本单位向量组,可由n维向量组,线性表示,证明向量组,线性无关.,证:,因n维基本单位向量组,线性表示,而n维向量组,等价.,可由n维向量组,由于等价的向量组有相同,可由,n维基本单位向量组线性表示,因此向量组,与向量组,的秩,而,所以,因此向量组,线性无关.,证毕.,七. 设,证明:,，证明：,线性无关,考虑向量方程：,即：,线性无关,线性无关,*八.设(),若各向量组的秩分别为:,(),(),R()= R()=3,R()=4,证明向量组,证:,因为向量组的秩为3,而向量组中含3个向量,所以向量组,线性无关.,同理,因为向量组的秩为4,而向量组中含4个向量,所以向量组,线性无关.,又因为向量组的秩为3,但向量组中含4个向量,故向量组线性相关.,表示.,即有,向量方程,一. 设,为什么?,解:,3.4 向量空间,是向量空间,不是向量空间.,这是因为:,则有,而,若,而,又,又,若,则有,所以,但,显然,不是向量空间.,因此,而,这表明,对数乘运算不封闭.,二、1. 向量,下的坐标是（ ),解:,在基,2. 已知 的两个基为：,求由基 到基 的过渡矩阵。,解:,设由基 到基 的过渡矩阵为C,则,三. 设四维向量空间V的两个基,满足：,（1）求由基()到基()的过渡矩阵C;,(),(),（2）求向量,在基()下的坐标。,解：,四. 1.试证,是,的一组基,并求,一组标准正交基.,1.证:,先证,线性无关.,由于,令,都可用,即有,再证任意3维向量,则有,所以,这表明任意3维向量都可用,因此,3维向量组,取值唯一.,唯一线性表示.,由于,线性表示.,生成的空间即为,证毕.,以下求,的一组标准正交基.,则,令,再将,单位化.,则,为,的一组标准正交基.,(答案不唯一),2.设,证明：,由它们所生成的向量空间是,证明:,所以,
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