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5.1 预备知识: 向量的内积,一、向量内积的定义及性质,在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为: x y = | x | y | cos .,设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则 x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .,由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:,定义1: 设有n维向量,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn, 称x, y为向量 x 与 y 的内积.,说明1. n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义.,说明2. 内积是向量的一种运算, 如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为: x, y = xT y.,我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:,记,内积的运算性质,设x, y, z为n维向量, 为实数, 则 (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x+y , z = x, z + y, z; (4) x, x 0, 当且仅当x=0时有x, x=0.,二、向量的长度及性质,称| x |为n维向量 x 的长度(或范数).,定义: 令,向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: | x | 0, 当且仅当x=0时有| x | = 0; (2) 齐次性: | x| = | | | x |; (3) 三角不等式: | x+y | | x | + | y |.,单位向量及n 维向量间的夹角,(1)当| x |=1时, 称x为单位向量. (2)当| x | 0, | y | 0 时,称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .,例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角.,解: x, y=13+21+25+31=18,所以,故, 向量x与 y 的夹角为:,三、正交向量组的概念及求法,1. 正交的概念,2. 正交向量组的概念,若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组.,当x, y=0时, 称向量 x 与 y 正交.,由定义知, 若x=0, 则 x与任何向量都正交.,3. 正交向量组的性质,定理1: 若向量组1, 2, , r 是n维正交向量组, 则1, 2, , r 线性无关.,证明: 设有数1, 2, ,r, 使得:,11 + 22 + + rr = 0,向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广.,由于1, 2, , r 是两两正交的非零向量组,当 i j 时, i, j=iTj = 0, 当 i = j 时, i, i=iTi 0,则有,用iT ( i =1, 2, , r )左乘上式得,1iT1 + + iiTi + + riTr = iT0 = 0,iiTi = 0.,即,从而得, 1=2= =r=0,所以1, 2, ,r 线性无关.,4. 向量空间的正交基,定义: 若正交向量组1, 2, , r是向量空间V的一组基, 则称1, 2, , r 是向量空间V的一组正交基.,例2: 已知三维向量空间中两个向量,正交. 试求3使1, 2, 3构成三维空间的一组正交基.,1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 1)T,即,解之得,解: 设3=(x1, x2, x3)T0, 且分别与1, 2正交.,则有,1, 3=2, 3=0,x1 = x3, x2 = 0.,若令 x3 = 1, 则有,构成三维空间的一组正交基.,则,5. 规范正交基,例如,定义: 设n维向量组e1, e2, , er是向量空间VRn的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, , er是向量空间V的一组规范(单位)正交基.,由于,所以, e1, e2, e3, e4为R4的一组规范正交基.,同理可知,也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组).,设e1, e2, , er是向量空间V的一组规范正交基, 则V中的任一向量a可由e1, e2, , er线性表示,设表示式为:,a =1e1 + 2e2 + + rer ,用eiT左乘上式, 有 eiTa =i eiTei =i ,即,i = eiTa = a, ei,这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)的计算公式. 利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标, 因此我们常取向量空间的规范正交基.,6. 求规范正交基的方法,已知1, 2, , r 是向量空间V 的一组基, 求V 的一组规范正交基, 就是要找一组两两正交的单位向量e1, e2, , er , 使e1, e2, , er 与1, 2, , r 等价, 这样一个问题称为把基1, 2, , r 规范正交化.,(1) 正交化,设a1, a2, , ar 是向量空间V 的一组基., ,取 b1 = a1,则b1, b2, , br两两正交, 且b1, b2, , br与a1, a2, , ar等价.,(2) 单位化, 取,则e1, e2, , en是向量空间V的一组规范正交基.,上述由线性无关向量组a1, a2, , ar 构造出正交向量组b1, b2, , br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.,例3: 用施密特正交化方法, 将向量组 a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1) 正交规范化.,解: 先正交化.,取,b1= a1=(1, 1, 1, 1),再单位化.,得规范正交向量组如下:,例4: 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,解: 先正交化.,取,b1= a1,再单位化.,得规范正交向量组如下:,故, e1, e2, e3 即为所求.,例5: 已知,求一组非零向量a2, a3, 使a1, a2, a3两两正交.,解: 非零向量a2, a3应满足方程 a1Tx = 0, 即,x1+ x2+ x3= 0.,它的基础解系为:,把基础解系正交化, 即为所求. 亦即取,其中1, 2=1, 1, 1=2,于是得,几 何 解 释,b2 = a2 c2, c2为a2在b1上的投影向量, 即,b1 = a1,b3 = a3 c3, c3为a3在b1, b2所确定的平面上的投影向量,由于b1b2, 故c3等于a3分别在b1, b2上的投影向量c31及c32之和, 即,四、正交矩阵与正交变换,定理: A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交.,若n阶方阵A满足ATA = E, 即A-1=AT, 则称A为正交矩阵.,证明: 由于,ATA = E,性质1: 正交变换保持向量的长度不变.,定义: 若P为正交阵, 则线性变换 y = Px 称为正交变换.,证明: 设线性变换 y = Px为正交变换.,则有,性质2: 设A为正交矩阵, 则A-1=AT也为正交矩阵, 且|A|=1或1. 性质3: 设A,B都是正交矩阵, 则AB也为正交矩阵.,例6: 判别下列矩阵是否为正交阵.,解(1): 考察矩阵的第一列和第二列.,所以(1)不是正交矩阵.,由于,解(2): 注意到, 该矩阵为对称矩阵, 则有,所以(2)是正交矩阵.,例6: 验证矩阵,解: P 的每个列向量都是单位向量, 且两两正交, 所以P是正交矩阵.,是正交矩阵.,五、小结,1. 将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其单位化.,2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立: (1) A-1=AT; (2) ATA=E; (3) A的列向量是两两正交的单位向量; (4) A的行向量是两两正交的单位向量.,思考题,求一单位向量, 使它与下列向量正交.,a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, 1, 1, 1), a3=(2, 1, 1, 3),思考题解答,设所求向量为x=(a, b, c, d),解得:,或,则由题意可得:,
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