2019-2020年高中数学 1.1.3 解三角形的进一步讨论优秀教案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学 1.1.3 解三角形的进一步讨论优秀教案 新人教A版必修5一、正、余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决. 【例1】已知A、B为ABC的边,A、B分别是A、B的对角,且求的值.解：,.又 (这是角的关系)， (这是边的关系).于是,由合比定理得.【例2】已知ABC中,三边A、B、C所对的角分别是A、B、C,且a、b、c成等差数列.求证:sinA+sinC=2sinB.证明:a、b、c成等差数列，a+c=2B(这是边的关系).又,.将代入,得=2B.整理得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).二、正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:【例3】求sin220+cos280+sin20cos80的值.解：原式=sin220+sin210-2sin20sin10cos150,20+10+150=180,20、10、150可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是A、B、C,由余弦定理得a2+b2-2abcos150=C2.(*)而由正弦定理知A=2Rsin20,B=2Rsin10,C=2Rsin150,代入(*)式得sin220+sin210-2sin20sin10cos150=sin2150=.原式=.三、构造正三角 通常，我们使用标尺作正三角形以标尺作正三角形，只需相异两点A、B，再配合工具即可分别以A、B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点，ABC就是正三角形了因为，圆A中，AB=AC(半径)；而且圆B中，BA=BC(半径)，所以AB=BA=AC(参见上图)如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么万能的双手又要如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；最后再将B点和A、C点连成三角形(参见右图)，就是正三角形了因为，AC=AB，又B点在中垂线上，所以，BA=BC，因此，AB=BC=CA