2019-2020年高中总复习第一轮数学 第十三章 导数13.3 导数的综合应用教案 （理） 新人教A版.doc

2019-2020年高中总复习第一轮数学 第十三章 导数13.3 导数的综合应用教案 （理） 新人教A版巩固夯实基础 一、自主梳理 1.利用导数研究函数的单调性,从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题. 2.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题. 3.利用导数解决物体的运动速度问题. 二、点击双基1.某物体作s=2(1-t)2的直线运动，则t=0.8 s时的瞬时速度为( )A.4 B.-4 C.-4.8 D.-0.8解析:s=-4(1-t),当t=0.8 s时，v=-0.8.答案:D2.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则( )A.b0 B.b C.0b D.b1解析:f(x)=3x2-6b,令f(x)=0，得x=b. f(x)在(0,1)内有极小值，0b1.0b1时,axlna+logae0. f(x)为增函数. 当0a1时,axlna+logae-2,nN*,比较(1+x)n与1+nx的大小.剖析:从条件最易想到归纳猜想证明，但证明由n=k到n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)过渡到(1+x)k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较简单了.解:设f(x)=(1+x)n-1-nx, 当n=1时，f(x)=0, (1+x)n=1+nx. 当n2，nN*时, f(x)=n(1+x)n-1-n=n(1+x)n-1-1, 令f(x)=0,得x=0. 当-2x0时，f(x)0时，f(x)0. f(x)在0,+上为增函数. 当x-2时，f(x)f(0)=0. (1+x)n1+nx. 综上,得(1+x)n1+nx.讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法.链接拓展 本题可用归纳猜想证明法解. 当n=1时，(1+x)1=1+x. 当n=2时，(1+x)2=1+2x+x21+2x. 当n=3时，(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)1+3x. 猜想:(1+x)n1+nx. 证明:当x-1时， (1)当n=1时，(1+x)n1+nx成立. (2)假设n=k时，(1+x)k1+kx成立， 那么(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x. 当n=k+1时，(1+x)n1+nx成立. 由(1)(2)可知，当x-1时，对nN*，(1+x)n1+nx. 当-2x-1时，当n=1时，(1+x)n=1+x；当n2时，|1+x|1. |1+x|n1.而1+nx1+nx. 综上,得(1+x)n1+nx正确.【例2】已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1)处的切线方程为x+2y+5=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.剖析:(1)f(1)即为x+2y+5=0的斜率,从而得出一个关于a、b的关系式.点M(-1,f(-1)在切线上,又得出一个关于a、b的等量关系式.从而可求出a、b. (2)利用导数可求y=f(x)的单调区间.解:(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,f(-1)处的切线方程为x+2y+5=0,知 -1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f(-1)=-. f(x)=, 即 解得a=2,b=3(b+10,b=-1舍去). 所求的函数解析式是f(x)=. (2)f(x)=. 令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2,x2=3+2. 当x3+2时,f(x)0; 当3-2x0. 所以f(x)=在(-,3-2)内是减函数,在(3-2,3+2)内是增函数,在(3+2,+)内是减函数.讲评:本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.【例3】 用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为 =3.2-2x(m). 设容积为y m3, 则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0x1.6), 整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6x. 所以y=-6x2+4.4x+1.6. 令y=0, 即-6x2+4.4x+1.6=0, 所以15x2-11x-4=0. 解得x=1或x=-(不合题意,舍去). 从而在定义域(0,1.6)内只有x=1处使得y=0. 由题意,若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时,y值很小(接近0). 因此,当x=1时,y有最大值且ymax=-2+2.2+1.6=1.8, 此时,高为3.2-21=1.2. 答:容器的高为1.2 m时,容积最大,最大容积改为1.8 m3.讲评:在实际问题中,有时会遇到函数在区间内仅有一个点使f(x)=0,如果函数在这点有极大(小)值,那么这点是使函数取最大(小)值的点.这所说的区间不仅适用于闭区间,也适用于开区间或无穷区间.【例4】已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a0.(1)若b=2,且函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.(1)解:b=2时,h(x)=lnx-ax2-2x, 则h(x)=-ax-2=-. 因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h(x)0,则ax2+2x-10有x0的解. 当a0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-10总有x0的解; 当a0有x0的解, 则=4+4a0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根,此时,-1a0. 综上所述,a的取值范围为(-1,0)(0,+).(2)证明:设点P、Q的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),0x11. 令r(t)=lnt-,t1, 则r(t)=-=. 因为t1时,r(t)0,所以r(t)在1,+上单调递增. 故r(t)r(1)=0.则lnt. 这与矛盾,假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.讲评:本题主要考查函数的性质、导数,分类讨论的思想,以及分析问题和解决问题的能力.注意运用导数研究函数的单调性及切线问题.