2019-2020年高中数学 1.4 2导数及均值不等式在生活中的优化问题中的应用教案 新人教A版选修2-2.doc

2019-2020年高中数学 1.4 2导数及均值不等式在生活中的优化问题中的应用教案 新人教A版选修2-2生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。导数是解决最值问题有力的工具之一，我们常用求函数的导数来确定最优解。但是除此之外，均值不等式在解决此类问题时也有其自身的特点，下面我将通过一些具体的例子来作简单的说明。【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1-1所示的竖向的海报，要求版心面积为128，上、下两边各空2，左右两边各空1，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？解：设版心的高为，则版心的宽为，此时四周空白的面积为图1-1 解法一：（导数法）求函数的导数得：；令，解得：，于是宽为。当时，当时，因此，是函数的极小值点，也是最小值点，所以，当版心高为16，宽为8时，能使四周空白面积最小。解法二：（均值不等式法）（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）当且仅当，即时取等号，此时宽为，所以，当版心高为16，宽为8时，能使四周空白面积最小。【例2】以长为10的线段为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值。解：如图2-1所示，设，面积 （）AB图2-1解法一：（导数法）求函数的导数得：，令，解得：（舍去）当时，当时，；在时，取得极大值，也是最大值；因此当时，它的内接矩形面积最大，最大值为25。解法二：（均值不等式法），（）当且仅当，即时取等号。（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）【例3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：（），已知甲乙两地相距100千米，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升。，（）解法一：（导数法）求函数的导数得：， 令，解得：，当时，当时，；在时，取得极小值，也是最小值。解法二：（均值不等式法）当且仅当，即时取等号。（利用均值不等式：若，当且仅当时取等号）【例4】用长为18m的钢条围成一个长方体形状框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为m，则长为m，高为（m），故长方体的体积为：（）解法一：（导数法）求函数的导数得：令：，解得：（），当时，当时，；故时，取得极大值，并且这个极大值就是最大值，从而（）。所以长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大值为3解法二：（均值不等式法），当且仅当，即时取等号，此时（）。所以长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大值为3通过上述的几例可以发现，通过求导数进行求解最值具有普遍性，对很多最值问题都可以求解，但有些题目用导数知识解题过程较为繁琐，极值点求出后，极值情况有的还要与区间断点值比较；而使用均值不等式进行求解时，过程较为简练，但均值不等式只能解决最值问题中的一类问题，有其自身的局限性，并且有的还要注意有陷阱的问题。例如：求函数的最小值时，要是直接使用均值不等式就会出现问题。，取等号时，此时。用均值不等式解题时，要注意找到能消去自变量的最佳组合，这一点就不好做到，所以新教材改革中淡化了对均值不等式的应用，而导数弥补了均值不等式的不足，其方法思路清晰，条理明确。在解决优化问题时，两种方法各有千秋，如果我们能对两种方法都有所理解，针对具体问题具体分析，有选择地运用，就能使思路开阔，方法简捷，有利于学生解决问题能力的提高。电子邮箱：huangyu8023126