小学数学奥数题周长、面积.ppt

第9讲 周长、面积、体积、表面积,梁 碧 湘,第一节 巧求周长,专题简析： 对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。 将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。,例题1 ： 下图是一个楼梯的侧面图，求此图 形的周长。,例题2 ：下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？,分析：这题我们可以用平移的方法将它转化 为一个长方形，如下图：,例题3 ： 两个大小相同的正方形拼成一个 长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减 少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘？,例题4： 将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？,第二节 组合图形的面积,第一专题简析： 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。,例1 ： 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？,分析与解答 ： 由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是1212，那么，一个三角形的面积就是12124=36平方厘米。,例3： 四边形ABCD和四边形DEFG都 是正方形，已知三角形AFH的面积是 7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？,分析 ： 设大正方形的边长是a，小正方 形的边长是b。 （1）梯形EFAD的面积是（a+b）b2，三角形EFC的面积也是（a+b）b2。所以，两者的面积相等。 （2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积梯形EFHD的面积，而三角形CDH的面积=三角形EFC的面积梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等，也是7平方厘米。,例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？,分析 ：要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就能得到一个三角形EFC，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积：8202882=48平方厘米。FD=48220=4.8厘米，所求梯形的面积就是（4.88）82=51.2平方厘米。,例5 图中ABCD是长方形，长为6，宽为4， 三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。,分析： 因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，所以，三角形BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。三角形BCE的面积是646=30平方厘米，EC的长则是3026=10厘米。因此，ED的长是104=6厘米。,组合图形的面积（二）,专题简析： 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点： 1，两个三角形等底、等高，其面积相等； 2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系； 3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。,例题2 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。,分析 三角形ADC的面积是10152=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的1510=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5（11.5）1.5=45。,例题3 ： 两条对角线把梯形ABCD分割成四个 三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位： 平方厘米）,分析：,1，因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。 2，因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是62=3平方厘米。,例题4 ： 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。,分析,（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是20（13）=80平方厘为； （2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是802=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是8040=120平方厘主。,复杂面积问题,专题简析： 解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点： 1，细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决； 2，从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。,例4：街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？,例1：街心花园中一个正方形的花坛四周有1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平 方米，中间花坛的面积是多少平方米？,分析与解答：,把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方形的面积是124=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是31=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是31=2米。中间花坛的面积是22=4平方米。,例2：一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少？,分析与解答：,把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+85=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，原来正方形的边长是22113=17分米。,第三节 体积,专题简析： 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。,解答立体图形的体积问题时要注意：,（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。,例题1：有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？,分析：中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是330.06+220.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。 330.06+220.04=0.7（立方米） 0.76的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）,例题2：一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？,分析：,在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是8815=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上升158=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14101088）7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。,分析：,当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14101088=250（平方厘米）。水的形状变了，但体积还是3.1410108=2512（立方厘米）。水的高度是2512250=10.048（厘米），上升10.0488=2.048（厘米） 3.1410108（3.14101088）8 =25122508 =10.0488 =2.048（厘米）,例题3：某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图28-1所示）。,分析：,设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是r，长是2r。长方体的容积是2rrr=24，即r的立方=12。这个半圆锥体的体积是1/3r的平方r2=1/6r的立方，将r的立方=12代入，就可以求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是2rrr=24，r的立方=12。 1/33.14r的平方r2 =1/63.14r的立方 =1/63.1412 =6.28（立方米）,例题4：如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？,分析：,设长方体物品的长、宽、高分别是a、b、c，并且abc（入土28-4）。比较“34”和“26”两种包法。图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc，图28-6中大长方体的表面积为4ab+12ac+24bc，两个式子中都曲调相同的部分4ab+8ac+24bc后，式与式的大小要看2ab与4ac的大小。（1）当b=2c时，2ab=￥ac，两种包法相同。（2）当b2c时，“34”的包法表面积最小。（3）当b2c时，“26”的包法表面积最小。,例题5：一只集装箱，它的内尺寸是181818。现在有批货箱，它的外尺寸是149。问这只集装箱能装多少只货箱？,分析：因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在181618的空间放货箱，可放181618（149）=144（只）。这时还有18218的空间，但只能在18216的空间放货箱，可放18216（149）=16（只）。最后剩下1822的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160（只）。 181618（149）+18216（149） =144+16 =160（只）,第4讲 表面积,专题简析：,小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、 正方体、圆柱体和圆锥体。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。,例题1：从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？,这是一道开放题，分几种情况考虑： 按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。 按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。,例题2：把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立 体图形的表面积。,要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。,而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）2来计算。 （339+338+3310）2 =（81+72+90）2 =2432 =486（平方厘米）,例题3：把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？,分析：把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个97的面。 （99+94+74）22972 =（63+36+28）4126 =508126 =382（平方厘米）,例题4：一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。,分析：我们知道：体积=长宽高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽高=402=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长高=903=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长宽=964=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）。,即： 402=20（平方厘米） 903=30（平方厘米） 964=24（平方厘米） （30+20+24）2 =742 =148（平方厘米） 答：原 长方体的表面积是148平方厘米。,例题5：如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。,如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51 =3.14（4.5+3+2+1） =3.1410.5 =32.97（平方米）,下次课内容：,数图形 体积 一笔画问题 错中求解,