2019-2020年高三下学期第五次月考数学试卷（理科） 含解析.doc

2019-2020年高三下学期第五次月考数学试卷（理科） 含解析一、选择题：1i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC +iD+i2变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D53设p：x23x+20，q：0，则p是q（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4函数f（x）=log0.5（x24）的单调减区间为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A2B4C8D166设等差数列an的前n项和为Sn，若Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，则k=（）A5B6C7D87在ABC中，ABC=90，AB=，BC=2，点P为ABC内一点，若BPC=90，PB=1，则PA=（）A4BCD18已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上， =， =，若=1， =，则+=（）ABCD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为10某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是11已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为12在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为13（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知PD=2DA=2，则PE=14已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x，）时，求f（x）的取值范围16现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX17如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH平面ABCD，EFAB，BFC=90，AB=2，EF=1（）求证：FH平面EDB；（）求二面角BDEC的大小；（）求四面体BDEF的体积18如图，椭圆C： =1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（）求椭圆C的方程；（）求APB面积取最大值时直线l的方程19设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求证：an是首项为1的等比数列；（）若数列bn的前n项和为Tn=n2+2n，求数列anbn的前n项和；（）若a21，求证：Sn（a1+an），并给出等号成立的条件20已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f（x）和g（x）是f（x），g（x）的导函数，若f（x）g（x）0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（）讨论f（x）的极值；（）设a0，若函数f（x）和g（x）在区间2，+）上单调性一致，求实数b的取值范围；（）设a0，且ab，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值xx天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC +iD+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，故选：C2变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+31=4，故选：C3设p：x23x+20，q：0，则p是q（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别求出关于p，q的不等式的解，结合集合的包含关系，判断即可【解答】解：关于p：x23x+20，解得：x2或x1，关于q：0，解得：x2或x2或1x1，则p是q的必要不充分条件，故选：B4函数f（x）=log0.5（x24）的单调减区间为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）【考点】复合函数的单调性【分析】令t=x240，求得函数的定义域，且y=log0.5t，再利用二次函数的性质求得t在定义域内的单调增区间，即为函数f（x）的减区间【解答】解：令t=x240，求得x2或x2，故函数的定义域为（，2）（2，+），且y=log0.5t，故本题即求函数t在定义域内的单调增区间由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+），故函数f（x）的减区间为（2，+），故选：D5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A2B4C8D16【考点】程序框图【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件k3，计算输出S的值【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，S=1满足条件k3，S=1，k=1满足条件k3，S=2，k=2满足条件k3，S=8，k=3不满足条件k3，退出循环，输出S的值为8故选：C6设等差数列an的前n项和为Sn，若Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，则k=（）A5B6C7D8【考点】等差数列的前n项和【分析】Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，可得ak=SkSk1，ak+1=Sk+1Sk，可得公差d=ak+1ak再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：Sk1=3，Sk=0，Sk+1=4，ak=SkSk1=3，ak+1=Sk+1Sk=4，公差d=ak+1ak=43=1ak=a1+（k1）=3，a1=4k，Sk=ka1+=0，化为k（4k）+=0，解得k=7故选：C7在ABC中，ABC=90，AB=，BC=2，点P为ABC内一点，若BPC=90，PB=1，则PA=（）A4BCD1【考点】解三角形【分析】由已知得PBC=60，可得PBA=30，在PBA中，由余弦定理即可得出【解答】解：在ABC中，由已知得PBC=60，PBA=30，在PBA中，由余弦定理得PA2=12+12=7，PA=故选：C8已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上， =， =，若=1， =，则+=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由=1，求得4+42=3 ；再由=，求得+=结合求得+的值【解答】解：由题意可得若=（+）（+）=+=22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1）（1）22cos120=（1+）（2）=，即+=由求得+=，故答案为：二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为【考点】几何概型【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=（）=，边长为1的正方形的面积为1，所以所求概率P=故答案为：10某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是10【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10显然面积的最大值为10故答案为：1011已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=5，可得双曲线的左焦点为（5，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程平行于直线l：y=2x+10，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：因为抛物线y2=20x的准线方程为x=5，所以由题意知，点F（5，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=25，又双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，所以=2，由解得a2=5，b2=20，所以双曲线的方程为故答案为：12在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为3【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y2）2=4，可得a的值【解答】解：直线sin=a即y=a，（a0），曲线=4sin，即2=4sin，即x2+（y2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，AOB是等边三角形，B（a，a），代入x2+（y2）2=4，可得（a）2+（a2）2=4，a0，a=3故答案为：313（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知PD=2DA=2，则PE=【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【分析】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解PE的值【解答】解：因为BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，EPDAPE，PD=2DA=2PE2=PAPD=32=6，PE=故答案为：14已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a0，不满足条件，a0，当a2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，当a=1时，当x0时，f（x）=x25x4，由f（x）=x25x4=x得x2+4x+4=0，则判别式=1644=0，即此时直线y=x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，要使函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则1a2，故答案为：（1，2）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x，）时，求f（x）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）先利用两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x，）时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范围【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）f（x）=cos2x+f（x）=cos2x+sin2x+f（x）=sin（2x+）+，（1）最小正周期，sinx单调递增区间为2k，2k+，（kZ）2x2k，2k+，（kZ）解得：x，（kZ）f（x）的最小正周期为；单调递增区间为，（kZ）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+x，），2x，由三角函数的图象和性质：可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0当2x=时，f（x）取得最大值，即x，）时，f（x）的取值范围在16现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B+，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可【解答】解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B+根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）=（1）（1）+（1）（1）+（1）（1）=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1）（1）（1）=P（X=1）=P（B）=（1）（1）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1）（1）+（1）（1）=P（X=3）=P（BC）+P（BD）=（1）+（1）=P（X=4）=P（）=（1）=P（X=5）=P（BCD）=故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P所以E（X）=0+1+2+3+4+5=17如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH平面ABCD，EFAB，BFC=90，AB=2，EF=1（）求证：FH平面EDB；（）求二面角BDEC的大小；（）求四面体BDEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【分析】（）设AC与BD交于G，则G为AC的中点连接EG，GH，通过证明四边形EFHG是平行四边形，证明FH平面EDB；（）在平面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线与k，可知FKB为二面角BDEC的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求解；（）求出四面体BDEF的高与底面面积，即可求解四面体的体积【解答】（）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GHAB，GH=，又EFAB，EF=，四边形EFGH为平行四边形，FH平面EDB；（）解：FH平面ABCD，平面BFC平面ABCD，又ABBC，AB平面BFC，则ABBF，则EFFB，又BFC=90，BF平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线与k，则FKB为二面角BDEC的一个平面角，EF=1，AB=2，FC=，DE=，又EFDC，KEF=EDC，sinEDC=sinKEF=，FK=EFsinKEF=，tanFKB=，FKB=60，二面角BDEC为60；（）解：EFFB，BFC=90，BF平面CDEF，BF为四面体BDEF的高，又BC=AB=2，BF=FC=，S=EFFC=1，四面体BDEF的体积VBDEF=18如图，椭圆C： =1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（）求椭圆C的方程；（）求APB面积取最大值时直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分析】（）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当ABx轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得APB面积，从而问题得解【解答】解：（）由题意，解得：所求椭圆C的方程为：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当ABx轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，线段AB的中点MM在直线OP上，k=故变为3x23mx+m23=0，又直线与椭圆相交，0，x1+x2=m，|AB|=P到直线AB的距离d=APB面积S=（m（2，0）令u（m）=（12m2）（m4）2，则m=1，u（m）取到最大值m=1时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：19设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20（）求证：an是首项为1的等比数列；（）若数列bn的前n项和为Tn=n2+2n，求数列anbn的前n项和；（）若a21，求证：Sn（a1+an），并给出等号成立的条件【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）利用an+1=Sn+1Sn推导出递推公式即可得出结论；（2）对a2是否为1讨论，利用错位相减法求和；（3）对|a2|与1的关系讨论得出（ar+11）（anr+11）0，即a2r+a2nr1+a2n，使用累加求和得出结论【解答】解：（I）当n=1时，a1+a2=a2a1+a1，a1=1an+1=Sn+1Sn=a2Sn+a1（a2Sn1+a1）=a2（SnSn1）=a2an，=a20an是以1为首项，以a2为共比的等比数列（II）当n=1时，b1=3，当n2时，bn=TnTn1=n2+2n（n1）2+2（n1）=2n+1，当n=1时，上式仍成立，bn=2n+1又an=a2n1，anbn=a2n1（2n+1）设数列anbn的前n项和为Rn，若a2=1，则an=a1=1，Rn=Tn=n2+2n若a21，则Rn=3a20+5a2+7a22+（2n+1）a2n1，a2Rn=3a2+5a22+7a23+（2n+1）a2n，（1a2）Rn=3+2a2+2a22+2a23+2a2n1（2n+1）a2n，=1+（2n+1）a2nRn=+（III）当a=1时，an=1，Sn=n， =n，故Sn=当a21时，当n=1或n=2时，显然Sn=成立，当n3时，若1a20或0a21，则an=a2n11，若a21，则an=a2n11（ar+11）（anr+11）0，即ar+1+anr+11+ar+1anr+1，（r=1，2，3n1）a2r+a2nr1+a2n上面不等式对r从1到n1累加求和得：2a2+2a22+2a23+2a2n1（n1）（1+a2n），a2+a3+a+an（1+a2n）1+a2+a3+a+an+an+1（1+a2n），1+a2+a3+a+an（1+a2n1），即Sn（a1+an）综上，Sn（a1+an），当且仅当a2=1或n=1或n=2时取等号20已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f（x）和g（x）是f（x），g（x）的导函数，若f（x）g（x）0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（）讨论f（x）的极值；（）设a0，若函数f（x）和g（x）在区间2，+）上单调性一致，求实数b的取值范围；（）设a0，且ab，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间1，+）上单调性一致即f（x）g（x）0在1，+）上恒成立，以及3x2+a0，来求实数b的取值范围；（）先求出f（x）=0的根以及g（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|ab|的最大值【解答】解：（）f（x）=3x2+a，a0时，f（x）0，f（x）在R递增，无极值，a0时，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，f（x）的极大值是f（）=，f（x）的极小值是f（）=（）f（x）=3x2+a，g（x）=2x+b，由题得f（x）g（x）0在2，+）上恒成立因为a0，故3x2+a0，进而2x+b0，即b2x在2，+）上恒成立，所以b4，故实数b的取值范围是4，+）；（）令f（x）=0，得x=若b0，由a0得0（a，b）又因为f（0）g（0）=ab0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的因此b0现设b0，当x（，0）时，g（x）0；当x（，）时，f（x）0因此，当x（，）时，f（x）g（x）0故由题设得a且b，从而a0，于是b0，因此|ab|，且当a=，b=0时等号成立，又当a=，b=0时，f（x）g（x）=6x（x2），从而当x（，0）时f（x）g（x）0故函数f（x）和g（x）在（，0）上单调性一致，因此|ab|的最大值为xx11月24日