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2019年高考数学一轮复习第十二单元空间向量高考达标检测三十二空间角3类型-线线角线面角二面角理1如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC1，AA1.(1)求证：BC1平面A1DC；(2)求二面角DA1CA的正弦值解：(1)证明：过点A作AOBC交BC于点O，过点O作OEBC交B1C1于E.因为平面ABC平面CBB1C1，所以AO平面CBB1C1.以O为坐标原点，OB，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为BC1，AA1，ABC是等边三角形，所以O为BC的中点则O(0,0,0)，A，B，C，D，A1，C1，设平面A1DC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即 取x1，得z13，y11，平面A1DC的一个法向量为n1(，1，3)又(1，0)，n10，又BC1平面A1DC，BC1平面A1DC.(2)设平面ACA1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，(0，0)，则即取x2，得y20，z21.平面ACA1的一个法向量为n2(，0，1)则cosn1，n2，设二面角DA1CA的大小为，cos ，sin ，故二面角DA1CA的正弦值为. 2(xx全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又CE平面PAB，BF平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20. 又M在棱PC上，设，则x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角MABD为锐角，因此二面角MABD的余弦值为.3.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解：由题意知，AB，AC，AP两两垂直，故以A为坐标原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得A(0，0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，又(0，2，1)，(1,2，1)，则即不妨取y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段AH的长为或.4.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形， ABC45，ADAP2，ABDP2，E为CD的中点，点F在线段PB上(1)求证：ADPC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，因为AB2，BC2，ABC45，由余弦定理得AC284222cos 454，解得AC2，所以AC2BC2AB2，所以ACB90，即BCAC.又ADBC，所以ADAC.又ADAP2，DP2，所以AD2AP2DP2，所以APAD，又APACA，所以AD平面PAC，所以ADPC.(2)因为侧面PAD底面ABCD，PAAD，所以PA底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两互相垂直，以A为坐标原点，AC，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1,0)，P(0,0,2)，所以(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)，设 (0,1)，则(2，2，2)，F(2，2，22)，所以(21,21，22)，易得平面ABCD的法向量m(0,0,1)设平面PDC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1，1)因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|，解得，所以.某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFQH材料切割成三棱锥HACF.(1)若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG平面ACF；(2)已知原长方体材料中，AB2，AD3，DH1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角，再根据公式hAHsin 求三棱锥HACF的高h.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高解：(1)证明：HMMA，HNNC，HKKF，MKAF，MNAC.MK平面ACF，AF平面ACF，MK平面ACF，同理可证MN平面ACF，MKMNM，MN平面MNK，MK平面MNK，平面MNK平面ACF.又MG平面MNK，MG平面ACF.(2)以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.则A(3，0,0)，C(0,2,0)，F(3,2,1)，H(0,0，1)，(3,2,0)，(0,2,1)，(3,0,1)，设平面ACF的一个法向量n(x，y，z)，则即令y3，则n(2,3，6)，sin |cos，n|，三棱锥HACF的高为AHsin .
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