2019-2020年高二数学 第二章 第1节 曲线与方程知识精讲 理 人教实验B版选修2－1.doc

2019-2020年高二数学 第二章 第1节 曲线与方程知识精讲 理 人教实验B版选修21【本讲教育信息】一、教学内容：选修21 曲线与方程二、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用几种重要的方法求曲线的方程的方法和步骤。三、知识要点分析：1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P=Mp（M）；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成f（x，y）0，此法是求轨迹的最基本的方法。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。注：用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x，y）却随着另一动点Q（x1，y1）的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹为已给定或容易求得，则可先将x1、y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形、在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明及讨论清楚。【典型例题】例1. 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a，则A（a，0），B（a，0）.设M（x，y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得=，代入坐标，得=，化简得（12）x2+（12）y2+2a（1+2）x+（12）a2=0（1）当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）. （2）当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0，点M的轨迹是以（，0）为圆心，为半径的圆. 感悟：本题所用的方法是直接法，在所求得的曲线方程中含参数，应通过对参数的讨论来说明轨迹的类型，即是什么曲线，它的位置，形状，大小如何，此题易忽视讨论=1的情况。建立适当的坐标系，用直接法求得轨迹方程，再由值的变化讨论方程所表示的曲线。例2. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程：错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB的中点为R，坐标为（x，y），则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=所以有（x4）2+y2=36（x2+y2），即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q（x，y），R（x1，y1），因为R是PQ的中点，所以x1=，代入方程x2+y24x10=0，得10=0整理得：x2+y2=56，这就是所求的顶点Q的轨迹方程. 例3. 已知圆x2+y2=16，A（2，0），若P，Q是圆上的动点，且，求PQ中点的轨迹方程。解：设PQ中点M的坐标为（x，y），由已知圆的参数方程，可设，（1）又，化简得代入（1）式，得，所以所求PQ中点的轨迹方程为。例4. 圆过点P（2，1）且和直线相切，圆心在直线y=2x上，求此圆的方程。解：设圆的方程为，由已知，解得a=1，b=2，r=或a=9，b=18，r=13.所以此圆的方程为。注意：求圆的方程，可先设所求圆的标准方程或一般方程，再由题设条件建立方程组，解方程组，确定方程中的待定系数。例5. 设点A和B为抛物线 y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 命题意图：本题主要考查用“参数法”求曲线的轨迹方程。知识依托：直线与抛物线的位置关系。 错解分析：当设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）时，注意对“x1=x2”的讨论。技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系。解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）（x0）直线AB的方程为x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x，得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa， x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p，用m=代入，得x2+y24px=0（x0）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。解法二：设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。解法三：设M（x，y） （x0），OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0（x0）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。本讲涉及的数学思想、方法 1、曲线方程的意义；方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件；已知曲线求方程：求动点的轨迹方程；已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好；曲线与曲线的交点坐标。2、注意动点应满足的某些隐含条件，注意方程化简时的等价性，主要是在去分母和两边平方时的变形，还要注意图形可以有不同的位置或字母系数取不同值时的讨论。预习导学案（期中考试复习）（一）预习前知1、什么是算法？2、画程序框图的规则是什么？（二）预习导学探究反思探究反思的任务：算法，程序框图，概率，常用逻辑用语1、算法的特征：_2、当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）3、对立事件的概率计算公式：_4、古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：_5、几何概型的概率公式：P（A）=_6、原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题 ： 7、一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的 ；q是p成立的 ； 如果既有，又有qp，那么我们就说 是 成立的 。8、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1） （2） （3） 【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）A. 曲线 上的点的坐标都满足方程 . B. 坐标满足方程 的点有些在 上，有些不在 上. C. 坐标满足方程 的点都不在曲线 上. D. 一定有不在曲线 上的点，其坐标满足方程 . 2. 和y轴相切并且和曲线x2+y2=4 （0x2）相内切的动圆圆心的轨迹方程为（ ）。A. y2=4（x1）（x0）B. y2=2（x+1）（0x1）C. y2=4（x1）（0x1）D. y2=2（x1）（00），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 11. 已知一动圆与圆外切，与圆内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。12. 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点 向x轴作垂线段PP，求线段PP中点M的轨迹。【试题答案】1、D 分析：举例，若方程为 ，曲线为第一、三象限的角平分线，易知答案为D。2、C 分析：设动圆圆心为M（x，y），由图可知x0，设其半径为r，则由相切条件， |MO|=2|x|，即， ，又4（x1）=y20， 所求方程为y2=4（x1）（0x1）。3、A 解析：将直线方程变为x=32y，代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0，得（32y）2+y2+（32y）+m=0.整理得5y220y+12+m=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2）则=，y1+y2=4. 又P、Q在直线x=32y上，x1x2=（32y1）（32y2）=4y1y26（y1+y2）+9故y1y2+x1x2=5y1y26（y1+y2）+9=m3=0，故m=3.答案：A4、C 解析：由题意，可设椭圆方程为： =1，且a2=50+b2，即方程为=1. 将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25，a2=75.答案：C5. B6. B7. 提示：在地面上观测两旗杆顶端仰角相等的点到两旗杆距离的比等于两旗杆高度的比。8、解析：由sinCsinB=sinA，得cb=a，动点A的轨迹应为双曲线一支，且实轴长为，故其方程为.答案：9、解析：设所求圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2则有 由此可写出所求圆的方程.答案：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=010、解：设MN切圆C于N，则|MN|2=|MO|2|ON|2，设点M（x，y），则，化简，得（21）（x2+y2）42x+（1+42）=0 1）当=1时，动点M的轨迹方程为，表示一条直线。 2）当1时，方程化为，表示一个圆。11、解答如下：显然两定圆的圆心和半径分别为设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设有，由椭圆定义可知M在以，为焦点的椭圆上。，.故动圆圆心的轨迹方程为.12、解：设点 M的坐标为，点 的坐标为，则，.因为在圆上，所以将，代入方程得即1所以PP中点M的轨迹是一个椭圆。