2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析.doc

2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1已知命题p：xR，ex0，则p是_2命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为_命题（填“真”、“假”）3若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于_4“x21”是“0x1”成立的_条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5在正方体ABCDA1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_6与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为_7设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是_若lm，m，则l或 l 若l，则l或 l若l，m，则lm或 l与m相交 若l，则l或 l8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为_9已知点A是椭圆+=1（ab0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AFx轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是_10若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|=64，则F1PF2=_11点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为_12如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下_滴13在正三棱锥SABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MNAM，SA=2，则此三棱锥SABC外接球的表面积为_14如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是_二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+xa=0有实根（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“pq”为假命题，且“pq”为真命题，求a的取值范围16（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE平面CDE，AD与平面CDE所成角为30（1）求证：AB平面CDE；（2）求三棱锥DACE的体积17（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（ym）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围18（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为（） 求椭圆C的标准方程；（） 若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求ABF外接圆的方程19（16分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD=90，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点（1）求证：CE平面ADP；（2）求证：平面PAD平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值xx江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1已知命题p：xR，ex0，则p是xR，ex0【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题p：xR，ex0是特称命题，p：xR，ex0，故答案为：xR，ex0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为假命题（填“真”、“假”）【考点】四种命题间的逆否关系【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑；推理和证明【分析】写出原命题的逆命题，再由不等式的基本性质，判断真假，可得答案【解答】解：命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为：“若abam2bm2，则am2bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假【点评】本题考查的知识点是四种命题，不等式的基本性质，难度不大，属于基础题3若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4故答案为：4【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力4“x21”是“0x1”成立的必要不充分条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案【解答】解：由x211x1推不出0x1，由0x1x21，“x21”是“x1”的必要不充分，故答案为：必要不充分【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5在正方体ABCDA1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是lA1C1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】由A1C1AC，得A1C1平面AB1C，平面AB1C底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得lA1C1【解答】解：因为A1C1AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC平面AB1C，所以A1C1平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得lA1C1故答案为：lA1C1【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为过点（2，2），=3所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法7设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是若lm，m，则l或 l 若l，则l或 l若l，m，则lm或 l与m相交 若l，则l或 l【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】应用题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可【解答】解：若lm，m，则l或 l，故错；由面面垂直的性质定理知，若l，则l或 l，故对；若l，m，则lm或 l与m相交，或l与m异面，故错；若l，则l或 l或l或l，或l与相交故错故答案为：【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4=l2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r=2，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h=故答案为：【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目9已知点A是椭圆+=1（ab0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AFx轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案【解答】解：如图，由+=1（ab0），得，取x=c，可得，|AF|=c，|AF|2=，整理得：c43a2c2+a4=0，即e43e2+1=0，解得（舍）或，故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题10若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|=64，则F1PF2=【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出F1PF2【解答】解：由，得a2=9，b2=16，c=5，|F1F2|=2c=10，设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|=6，|PF1|PF2|=64，cosF1PF2=，F1PF2=故答案为：【点评】本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题11点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据椭圆方程设出x=3cos，y=sin，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinxx+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）3最大值为3故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题考查了学生综合分析问题和解决问题的能力12如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离【分析】设每分钟滴下k（kN*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值【解答】解：设每分钟滴下k（kN*）滴，则瓶内液体的体积=156cm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，156=156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴故答案为：75【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题13在正三棱锥SABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MNAM，SA=2，则此三棱锥SABC外接球的表面积为36【考点】球的体积和表面积【专题】计算题【分析】由题意推出MN平面SAC，即SB平面SAC，ASB=BSC=ASC=90，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积【解答】解：三棱锥SABC正棱锥，SBAC（对棱互相垂直）MNAC，又MNAM而AMAC=A，MN平面SAC即SB平面SAC，ASB=BSC=ASC=90，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，2R=2 ，R=3，S=4R2=4（3）2=36，故答案为：36【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键14如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（，），又F（c，0），由于BFAC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=1，又（c+）2+（）2=（xc）2+y2，可得x=，y=，将C（，）代入双曲线方程，化简可得（b2a2）=a3，由b2=c2a2，e=，得（2e21）（e22）2=1，可得e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+xa=0有实根（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“pq”为假命题，且“pq”为真命题，求a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；定义法；简易逻辑【分析】（1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；（2）若“pq”为假命题，且“pq”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为0，3（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有 a无解；当p假q真时有 实数a的取值范围是【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键16（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE平面CDE，AD与平面CDE所成角为30（1）求证：AB平面CDE；（2）求三棱锥DACE的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（1）通过ABCD，利用直线与平面平行的判定定理证明AB平面CDE（2）证明CD平面ADE，CDDE通过体积转化VDACE=VACDE求解即可【解答】证明：（1）正方形ABCD中，ABCD，又AB平面CDE，CD平面CDE，所以AB平面CDE（2）因为AE平面CDE，AD与平面CDE所成角为30ADE=30AE=1因为AE平面CDE，且CD平面CDE，所以AECD，又正方形ABCD中，CDAD，且AEAD=A，AE，AD平面ADE，所以CD平面ADE，又DE平面ADE，所以CDDE【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力17（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（ym）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑【分析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据“p且q”是真命题，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出s为真时的m的范围，结合q是s的必要不充分条件，得到关于t的不等式组，解出即可【解答】解：（1）若p为真：（1+m）2+（3m）216解得m1或m3，若q为真：则解得4m2或m4若“p且q”是真命题，则，解得4m2或m4；（2）若s为真，则（mt）（mt1）0，即tmt+1，由q是s的必要不充分条件，则可得m|tmt+1m|4m2或m4，即或t4，解得4t3或t4【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题18（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为（） 求椭圆C的标准方程；（） 若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求ABF外接圆的方程【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】（）由题意可得：，进而求出椭圆的方程（）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0（y01）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程【解答】解：（）由题意可得：，所以椭圆C的标准方程是 （）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则，x0（y01）=2，即x0=1+y0，代入，得：或，即A（0，1）或当A为（0，1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1； 当A为时，kBF=1，kAF=1，所以ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆由线段BA的中点以及可得ABF的外接圆的方程为（14分）综上所述，ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示19（16分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD=90，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点（1）求证：CE平面ADP；（2）求证：平面PAD平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CEDF，即可证明CE平面ADP；（2）证明CE平面PAB，利用CNDF，可得DF平面PAB，即可证明平面PAD平面PAB；（3）存在，取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ平面ABCD，即可得出结论【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EFEF为PAB的中位线，EFAB，且CDAB，且，EFCD，且EF=CD，四边形EFDC为平行四边形，CEDFDF平面ADP，CE平面ADP，CE平面ADP（2）证明：由（1）可得CEDFPC=BC，E为PB的中点，CEPBABBC，平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，AB平面ABCDAB平面PBC 又CE平面PBC，ABCE又CEPB，ABPB=B，AB，PB平面PBC，CE平面PABCNDF，DF平面PAB 又DF平面PAD，平面PAD平面PAB；（3）解：存在，证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，OPO为等腰PBC底边上的中点，POBC，PBC底面ABCD，PO平面PBC，平面PBC平面ABCD=BC，PO平面ABCD，NQ平面ABCD，NQ平面DMN，平面DMN平面ABC【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y2=k2（x4），直线BC的方程为y+2=（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率【解答】解：（1）因为e=，即c2=a2，即a2b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（4，2）；当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1k2；，所以kCB=； 同理kDB=，于是直线AD的方程为y2=k2（x4），直线BC的方程为y+2=（x+4）；，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；，即直线MN的斜率为定值1；当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，2）；仍然设DA的斜率为k2，由知kDB=；此时CA：x=4，DB：y+2=（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=2，AD：y2=k2（x4），它们交点N（，2），从而kMN=1也成立；由可知，直线MN的斜率为定值1【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题