2019-2020年高中数学 1.1《关于“球”的常见问题》教案 新人教A版必修2.doc

2019-2020年高中数学 1.1关于“球”的常见问题教案 新人教A版必修2常见问题1:问题：怎样把圆和球的主要性质进行对照？解答:答：圆的主要性质球的主要性质1平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹）空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）2同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍3与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2圆心到弦距离2弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2球心到截面圆距离2截面圆的半径24不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆5过切点的圆半径垂直于圆的切线过切点的球半径垂直于球的切面注6圆周长2圆半径圆面积=圆半径2大圆周长2球半径球面积4球半径2球体积= 注 与球面只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点。类似的，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。球的切线有以下主要性质：1. 过切点的球半径垂直于球的切线；2. 过球面上一点的切线有无限多条，这些切线都在这一点的球的切面内。常见问题2:球问题：地球半径为R，A、B两地都在北纬45线上，且A、B的球面距离为 ，求A、B两地经度的差.解答:分析：如图，O为球心，O1为北纬45小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在AO1B中，AO1B的大小就是A、B两地的经度差.解 设O1是北纬45圈的中心，A、B都在此圈上，O1AO1B R.A、B的球面距离为 ，AOB ,AOB为等边三角形.ABR，在AO1B中，O1A2+O1B2 R2+ R2R2AB2，AO1B90.A、B两地的经度差是90.评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.常见问题3:球问题：已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解答:解 设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，OAD ，RODADtan ,VAl,ADlcos,Rlcostan ,又设正方体棱长为x，则3x2EG24R2,x R.V正方体 (lcostan )3.常见问题4:球问题：如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥PABC的体积的最大值.解答:分析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得O1，AB是O1的直径，连PO1并延长交O1于D，PADB是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.解 (1)设过PA、PB的平面截球得O1，PAPB，AB是O1的直径，连PO1并延长交O1于D，则PADB是矩形，PD2PA2+PB2.设O为球心，则OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PCPD.CD是球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥PABC的体积V xyz，V2 x2y2z2 ( )3 R6.V R3.即 V最大 R3.评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90，这应记作很重要的性质.常见问题5:球问题：求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.解答:解 如图，作AH底面BCD于H，则AH a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4 Sr SAH，r AH a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面CD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH a,AH a,由相交弦定理得 a(2R- a)( a)2.解得R a.常见问题6:球问题：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为( )A.4 B.2 C.2 D. 解答:解 设球半径为R，小圆半径为r，则2r4,r2.如图，设三点A、B、C，O为球心，AOBBOCCOA ，又OAOBAOB是等边三角形同理，BOC、COA都是等边三角形，得ABC为等边三角形.边长等于球半径R，r为ABC的外接圆半径.r AB R R r2 应选B.常见问题7:球问题：已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且ABBCCA2，则球表面积是( )A. B. C.4 D. 解答:解 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O，球心是O，连结AO、OO，则OO AO.ABC中，ABBCCA2，故ABC为正三角形.AO 2 设球半径为R，则OAR，OO 在RtOAO中，OA2OO2+OA2，即R2 +( )2R 球面面积为4R2 应选A.说明 因为ROAOA AB1，所以球面积S4R24.从而选A.常见问题8:球问题：长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )A.20 B.25 C.50 D.200解答:解 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l2R.得：l24R232+42+5250从而 S球4R250应选C.常见问题9:球问题：在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa,那么这个球的表面积是 .解答:解 由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD a.S球表面积4( a)23a2.常见问题10:球问题：圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.解答:分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.解 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球2 52h,V1 V球即 25h h cm.应填 .常见问题11:球问题：湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解答:解 设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r12,球心与截面的距离为dR-8，由截面性质得：r2+d2R2,即122+(R-8)2R2.得R13 该球半径为13cm.常见问题12:球问题：在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为 米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解答:解：由题意知，光线与地面成60角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S，则Scos30S,并且S9，所以S6 (米2)常见问题13:球问题：设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解答:解 ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而MEAD.ME平面AC MEEF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则r 设ADEFa,SAMD1.ME .MF ,r -1当且仅当a ，即a 时，等号成立.当ADME 时，满足条件的球最大半径为 -1.