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2019-2020年高中数学第三章导数及其应用阶段通关训练含解析新人教A版一、选择题(每小题5分,共30分)1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是()【解析】选A.加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,故选A.2.若函数f(x)=x+在点P处取得极值,则P点坐标为()A.(2,4)B.(2,4),(-2,-4)C.(4,2)D.(4,2),(-4,-2)【解析】选B.因为f(x)=1-=0x=2,又因为x0,所以x2时,f(x)0f(x)为增函数,-2x0或0x2时,f(x)0f(x)为减函数,因为x=2是函数的极值点,所以P为(2,4),(-2,-4).3.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.C.-6,-2D.-4,-3【解析】选C.当x(0,1时,得a-3-4+,令t=,则t1,+),a-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t1,+),则g(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在1,+)上,g(t)0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a-6.同理,当x-2,0)时,有a-3-4+.令t=,则t-.令g(t)=-3t3-4t2+t,则g(t)=-(t+1)(9t-1),显然当-10,t-1时,g(t)0,故g(t)g(-1)=-2,得a-2.由以上两种情况得-6a-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为-6,-2.4.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则f(x)在开区间(a,b)内有极小值()A.2个B.1个C.3个D.4个【解析】选B.如图所示,由导函数f(x)在(a,b)内的图象可知:函数f(x)只有在B点处取得极小值,因为在点B的左侧f(x)0,且f(xB)=0,所以函数f(x)在点B处取得极小值.5.函数y=2x3-2x2在-1,2上的最大值为()A.-5B.0C.-1D.8【解析】选D.y=6x2-4x=2x(3x-2),列表:x-1(-1,0)02y10+0-0+16y-4单调递增0单调递减-单调递增8所以ymax=8.6.设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在(-,-1)上单调递增B.函数f(x)在(-,-1)上单调递减C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点处的切线方程为y=10D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点【解析】选C.因为f(x)=x3-12x+b,所以f(x)=3x2-12,令f(x)0,即3x2-120,所以x2,所以函数f(x)在(-,-2)和(2,+)上为增函数,令f(x)0,即3x2-120,所以-2x2,所以函数f(x)在(-2,2)上为减函数,所以排除A,B;当b=-6时,f(x)=x3-12x-6,f(-2)=-8+24-6=10,所以曲线的切点为(-2,10),因为f(x)=3x2-12,所以k=f(-2)=0,所以y=10,故C正确;当b=0时,f(x)=x3-12x,所以f(x)=3x2-12=0,所以x=2,所以函数f(x)在(-,-2)和(2,+)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,且f(-2)=16,f(2)=-16,所以函数f(x)的极大值为16,极小值为-16,所以函数f(x)的图象与直线y=10有三个公共点,故D错.二、填空题(每小题5分,共20分)7.容积为256的方底无盖水箱,它的高为时,最省材料.【解析】设水箱高为h,底面边长为a,则a2h=256,其表面积为S=a2+4ah=a2+4a=a2+.令S=2a-=0,得a=8.当0a8时,S8时,S0;故当a=8时,S最小,此时h=4.答案:48.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.【解析】点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,当过点P的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小.直线y=x-2的斜率等于1,令y=x2-lnx的导数y=2x-=1可得,x=1或x=-(舍去),故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线y=x-2的距离等于,故点P到直线y=x-2的最小距离为.答案:【补偿训练】若曲线y=上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【解析】设点P(x0,y0),因为y=-,所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-,又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以-=-2,解得x0=-ln2,代入y=得y0=2,所以点P(-ln2,2).答案:(-ln2,2)【方法总结】求切点的步骤:(1)设切点P(x0,f(x0).(2)求出函数y=f(x)在点x=x0的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率.(3)切点不仅是直线上的一个点,也是曲线上的点,利用这些条件列方程求切点.9.设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t0).则f(x)的最小值h(t)0),所以当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1或t=-1(不符合题意,舍去).当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如表所示:t(0,1)1(1,2)g(t)+0-g(t)单调递增极大值1-m单调递减所以g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m.h(t)-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m0.【解析】(1)根据题意知,f(x)=(x0),当a0时,则当x(0,1)时,f(x)0,当x(1,+)时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+);当af(1).即f(x)-2,所以f(x)+20.14.(13分)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值.(2)证明:当x0,且x1时,f(x).【解析】(1)f(x)=-,由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1),故即解得a=1,b=1.(2)由(1)知f(x)=+,所以f(x)-=,考虑函数h(x)=2lnx-(x0),则h(x)=-=-.所以当x1时,h(x)0可得h(x)0,当x(1,+)时,h(x)0,从而当x0且x1时,f(x)-0,即f(x).【能力挑战题】(xx全国丙卷)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当a0),当a0时,f(x)0,则f(x)在(0,+)单调递增,当a0时,则f(x)在单调递增,在单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)max=f,f-=ln+1,令y=lnt+1-t则y=-1=0,解得t=1,所以y在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,所以ymax=y(1)=0,所以y0,即f(x)max-,所以f(x)-2.
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