2019-2020年高三第一次模拟考试数学（理）试题 含解析.doc

2019-2020年高三第一次模拟考试数学（理）试题 含解析高xx级高三（上）数学试题卷（理科）【试卷综述】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中，增强了学生的学习信心,并激励学生继续学习的热情；在选题和测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，指导学生运用所学的基础知识和技能去分析问题、解决问题.【题文】一、选择题（每小题5分，共10小题50分，每小题只有一个正确答案）【题文】1.已知全集，集合，则( )A. B. C. D. 【知识点】交、并、补集的混合运算A1【答案】【解析】D 解析：因为,所以,又因为,所以,故选D.【思路点拨】根据集合的基本运算即可得到结论【题文】2. 已知等差数列中，则（ ）A.12 B.8 C.6 D.4【知识点】等差中项公式D2【答案】【解析】B 解析：因为为等差数列,所以化简可得:,所以,故选B.【思路点拨】利用等差中项公式求值即可【题文】3. 若的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=( )A.4 B.5 C.6 D.7【知识点】二项式定理的应用J3【答案】【解析】C 解析：令中x为1,可得各项系数和为,又展开式的各项二项式系数和为,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,解得n=6,故选：C【思路点拨】本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为，最后通过比值关系为64即可求出n的值【题文】4. 设是周期为2的奇函数，当时，则（ ）A. B. C. D. 【知识点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值B1 B3 B4【答案】【解析】A 解析：是周期为2的奇函数，当时，故选A【思路点拨】由题意得，代入已知条件进行运算即可【题文】5. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】C 解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设，将直线l：进行平移，观察x轴上的截距变化，当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值z最小值=F（0，1）=1，z最大值=F（2，0）=2,即的取值范围是,故选：C.【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到的取值范围【题文】6. 已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（ ） A B C D【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F1【答案】【解析】D 解析：，且，=0又向量与的夹角为120，且，3222+（1）（3）=0，解得=故选：D【思路点拨】利用向量垂直与数量积之间的关系即可得出【题文】7. 化简（ ） A. B. C. D. 【知识点】二倍角公式；诱导公式；辅助角公式.C2 C6【答案】【解析】C 解析：原式=，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简即可。【题文】8. 过双曲线的一个焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.C.D.【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】A 解析：如图因为，所以A为线段FB的中点，2=4，又1=3，2+3=90，所以1=2+4=22=3故2+3=90=322=301=60故选：A【思路点拨】先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【题文】9. 已知都是负实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【知识点】函数的最值及其几何意义B3【答案】【解析】B 解析：直接通分相加得 ，因为都是负实数，所以都为正实数，那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值 ，最小值为为，分母有最小值，即有最大值 ，那么可得最小值，最小值：，故选B【思路点拨】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值【题文】10. 已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ） A.个 B.个 C.个 D. 个【知识点】根的存在性及根的个数判断B9【答案】【解析】A 解析：当时，即或，当时，即或，其图象如下图所示：故选：A【思路点拨】首先，根据所给函数，求解的图象，然后，根据图象，得到相应的结果【题文】二填空题（每小题5分，共5小题25分）【题文】11. 已知复数（为虚数单位），则_。【知识点】复数求模L4【答案】【解析】 解析：因为，所以，故答案为。【思路点拨】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【题文】12. 已知不等式的解集为，则实数的取值范围是 。【知识点】绝对值不等式的解法E2【答案】【解析】 解析：令f（x）=|x2|+|x+1|，则f（x）=|x2|+|x+1|（x2）（x+1）|=3，f（x）min=3|x2|+|x+1|a的解集为Raf（x）min恒成立，a3，即实数a的取值范围是故答案为：【思路点拨】令f（x）=|x2|+|x+1|，可求得f（x）min=3，依题意，af（x）min，从而可得实数a的取值范围【题文】13. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系若曲线经过曲线的焦点，则实数的值为_。【知识点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】4 解析：由曲线得y2=2ax，（a0），由，消去参数t可得xy2=0，曲线经过曲线曲线的焦点，由可得，故答案为：4【思路点拨】将直线的参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，即可得出结论【题文】14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有_种放法。【知识点】排列、组合及简单计数问题J1 J2【答案】【解析】150 解析：把编号为1，2，3，4，5的五个球，分成3组：1，1，3分法，共有种；1，2，2分法，共有种，故共有25种方法；再放入编号为1，2，3的三个盒子中，有种方法根据乘法原理，可得不同放法的总数是256=150种故答案为150【思路点拨】把编号为1，2，3，4，5的五个球，分成3组，再放入编号为1，2，3的三个盒子中，根据乘法原理，即可得到结论【题文】15. 已知中的内角为，重心为，若，则 _。【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义F2 F3【答案】【解析】 解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，可得，则，即，又,不共线，则，即，故答案为：【思路点拨】利用正弦定理化简已知表达式，通过,不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求解即可【题文】三. 解答题(共6小题75分,16,17,18每小题13分,19,20,21每小题12分) 【题文】16.（13分） 已知函数（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的值域【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域C4 C5 C6【答案】【解析】（1）（2）最大值为1,最小值为解析：（1）故的单调增区间为（2） 当时，的最大值为1,最小值为【思路点拨】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简的解析式，利用三角函数的性质，可得的单调递增区间；（2）当时，根据正弦函数的定义域和值域求得，从而得到的值域【题文】17.（13分）已知等差数列的公差，且成等比数列.（1）求通项公式； （2）令，求数列的前项的和.【知识点】等差数列、等比数列的性质;数列求和.D2 D3 D4【答案】【解析】（1）;（2） 解析：（1），因为，则. 所以（2）因为，所以【思路点拨】（1）根据已知条件求出首项与公差，进而求出其通项公式；（2）利用分组求和法求出前n项和即可。【题文】18.（13分）如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点。（1）求点M到其准线的距离；（2）求证：直线AB的斜率为定值。【知识点】抛物线的性质；直线与圆锥曲线的综合.H7 H8【答案】【解析】（1）；（2）见解析 解析：（1）是抛物线上一定点 ，抛物线的准线方程为 点M到其准线的距离为（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为， 设直线MA的方程为： 直线AM、BM的斜率互为相反数 直线MA的方程为： 同理可得： 直线AB的斜率为定值【思路点拨】（1）由抛物线的性质及定义可得点M到其准线的距离；（2）先由已知求出直线MA的方程，然后用k表示出直线AB的斜率即可。【题文】19.（12分） 已知函数，。（1）求函数的最小值；（2）若存在（是自然对数的底数）使不等式成立，求实数的取值范围。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性B11B12【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）易知，定义域为，且，当时，此时单调递减，当时，此时单调递增。所以；（2）由题意知，即，设，则当时，此时单调递减；当时，此时单调递增。所以，因为存在使不等式成立，所以，又，故所以。【思路点拨】（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的最小值；（2）由已知得，设，则，由此利用导数性质能求出实数a的取值。【题文】20. （12分） 已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线：与相切，并且与椭圆交于不同的两点（1）求椭圆的标准方程；（2）当，且满足时，求弦长的取值范围。【知识点】直线与圆锥曲线的关系H8【答案】【解析】（1）（2） 解析：（1）依题意，可知， ，解得椭圆的方程为（2）直线：与相切，则，即，由，得，直线与椭圆交于不同的两点设， ，设，则，在上单调递增 .【思路点拨】（1）依题意，易得，进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得，联立解可得a2、b2、c2的值，即可得答案；（2）根据题意，直线l与x2+y2=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即，变形为m2=k2+1，联立椭圆与直线的方程得，设由直线l与椭圆交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则0，解可得k0，结合根与系数的关系以及向量的数量积公式可得，结合弦长公式利用函数的单调性易得答案【题文】21.（12分）已知函数，其导函数为。若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；若且，已知，求证：；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由.【知识点】数列与不等式的综合；数列与函数的综合D5【答案】【解析】（1）（2）见解析 解析：（1）。要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当时，在恒成立；当时，要使恒成立，则；当时，恒成立；所以的取值范围为。（2）根据题意得：f（1）=0，即a+a2=0，得a=1，于是，用数学归纳法证明如下：当n=1时，a1=421+2，不等式成立；假设当n=k时，不等式ak2k+2成立，即ak2k2也成立，当n=k+1时，ak+1=ak（ak2k）+1（2k+2）2+1=4k+52（k+1）+2，所以当n=k+1，不等式也成立，综上得对所有nN*时5，都有an2n+2（3）由（2）得an=an1（an12n+2）+1an12（n1）+22n+2+1=2an1+1，于是an+12（an1+1）（n2），所以a2+12（a1+1），a3+12（a2+1）an+12（an1+1），累乘得：，所以【思路点拨】（1）根据函数单调性与导数的关系，f（x）在其定义域内为单调函数，在（0，+）内f（x）恒大于0或恒小于0，转化为恒成立问题去解决（2）根据导数的几何意义，f（1）=0，求出a，确定f（x），f（x）继而得出an+1的表达式，最后用数学归纳法证明（3）在（2）的条件下，将各项适当放缩，能得出，再结合等比数列求和公式化简不等式左边，去与比较