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第3讲 力的合成与分解,知识梳理 一、矢量运算法则 1.平行四边形定则。,2.三角形定则:把两个矢量的 首、尾 顺次连接起来,第一个矢量的 首到第二个矢量的尾的 有向线段 为合矢量。,二、力的合成,1.合力与分力:如果几个力同时作用在物体上产生的 效果 与某一个力单独作用时的 效果 相同,则这一个力为那几个力的 合力,那几个力为这一个力的 分力 。,2.共点力:几个力都作用在物体的 同一点 ,或者它们的 作用线 交于一点。,3.力的合成:求几个力的 合力 的过程。,4.平行四边形定则:求互成角度的两共点力的合力,可以用表示这两个力 的线段为 邻边 作平行四边形,这两个相邻边之间的 对角线 就表示合力的 大小 和 方向 。,三、力的分解,1.力的分解:求一个力的 分力 的过程。力的分解与力的合成互为 逆运算 。,2.遵从原则: 平行四边形 定则。,3.分解方法 (1)力的效果分解法 (2)力的正交分解法,1.关于合力的下列说法,正确的是 ( ) A.几个力的合力就是这几个力的代数和 B.几个力的合力一定大于这几个力中的任何一个力 C.几个力的合力可能小于这几个力中最小的力 D.几个力的合力一定大于这几个力中最大的力,答案 C 力是矢量,力的合力不能简单地进行代数加减,故A是错误 的。合力可以大于分力,可以等于分力,也可以小于分力,故B、D是错误 的,C正确。,C,2.物体同时受到同一平面内的三个力的作用,下列几组力的合力不可能 为零的是 ( ) A.5 N,7 N,8 N B.5 N,2 N,3 N C.1 N,5 N,10 N D.10 N,10 N,10 N,答案 C 三个力合成,若前两个力的合力可与第三个力大小相等,方向 相反,就可以使这三个力合力为零,只要使第三个力的大小在其他两个 力的合力范围之内,就可能使合力为零,即第三个力F3满足:|F1-F2|F3 F1+F2。,C,3.(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,如图所示,已知两人手臂 上的拉力大小相等且为F,两人手臂间的夹角为,水和水桶的总重力为 G,则下列说法中正确的是 ( ) A.当为120时,F=G B.不管为何值,F= C.当=0时,F=,D.越大时F越小,AC,答案 AC 由平行四边形定则可知,两分力相等时,=120,F=F合=G;当 =0时,F= F合= ,故A、C对,B错。越大,在合力一定时,分力越大,故D 错。,4.如图所示,力F垂直作用在斜面倾角为的三角滑块上,滑块没被推动, 则滑块受到地面的静摩擦力的大小为 ( ) A.0 B.F cos C.F sin D.F tan ,C,答案 C 滑块受力如图。将力F正交分解,由水平方向合力为零可知 Ff=F sin ,所以C正确。,深化拓展,考点一 力的合成,考点二 力的分解,考点三 “死结”和“活结”,深化拓展 考点一 力的合成 1.合力范围的确定 (1)两个共点力的合成,|F1-F2|F合F1+F2,即两个力大小不变时,其合力 随两力夹角的增大而减小,当两力反向时,合力最小,为|F1-F2|,当两力同 向时,合力最大,为F1+F2。 (2)三个共点力的合成: 当三个共点力共线同向时,合力最大为F1+F2+F3。 任取两个力,求出合力范围,如第三个力在这个范围内,则三力合成的 最小值为零;如不在此范围内,则合力的最小值为最大的一个力减去另 外两个较小力的数值之和。,2.共点力的合成方法 (1)合成法则:平行四边形定则或三角形定则。 (2)求出以下三种特殊情况下二力的合力:,相互垂直的两个力合成,合力大小为F= 。 夹角为、大小相等的两个力合成,平行四边形为菱形,对角线相垂 直,合力大小为F=2F1 cos =2F2 cos 。 夹角为120、大小相等的两个力合成,合力大小与分力相等,方向沿 二力夹角的平分线。,1-1 如图所示的水平面上,橡皮绳一端固定,另一端连接两根弹簧,连接 点P在F1、F2和F3三力作用下保持静止。下列判断正确的是 ( ) A.F1F2F3 B.F3F1F2 C.F2F3F1 D.F3F2F1,B,答案 B P点在三力F1、F2、F3作用下保持静止,则合外力为零,F1、F2 的合力F12与F3等大反向。由大角对大力可知,F12F1F2,从而可得F3F 1F2,B正确。,1-2 如图甲所示,在广州亚运会射箭女子个人决赛中,中国选手程明获 得亚军,创造了中国女子箭手在亚运个人赛历史上的最好成绩。射箭 时,若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为120 N,其 弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图中F所示。弓 弦的夹角应为(cos 53=0.6) ( ),D,A.53 B.127 C.143 D.106,答案 D 弓弦拉力合成如图所示,由几何知识得,cos = = = =0.6 所以 =53 可得=106,故D正确。,1-3 (多选)在研究共点力合成实验中,得到如图所示的合力与两分力夹 角的关系曲线,关于合力F的范围及两个分力的大小,下列说法正确的 是 ( ) A.2 NF14 N B.2 NF10 N C.两分力大小分别为2 N、8 N,D.两分力大小分别为6 N、8 N,AD,答案 AD 由图像得= 时,两分力F1、F2垂直,合力为10 N,即 + =(10 N)2。=时,两分力方向相反,即两分力相减,|F1-F2|=2 N,联立解得F 1=8 N,F2=6 N或F1=6 N,F2=8 N,合力的范围|F1-F2|FF1+F2,即2 NF 14 N,故A、D对,B、C错。,考点二 力的分解 一、力的分解的唯一性分析 1.已知合力F和两分力的方向,两分力有唯一的确定值。按力F的实际作 用效果分解,属于此类情况。,2.已知合力F和一个分力F1的大小与方向,另一分力F2有唯一的确定值。,3.已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小,对力F进行分解,则有 三种可能(F1与F的夹角为)。如图所示: (1)F2F sin 时无解。 (2)F2=F sin 或F2F时有一组解。 (3)F sin F2F时有两组解。,2-1 已知两个共点力的合力为50 N,分力F1的方向与合力F的方向成30 角,分力F2的大小为30 N。则 ( ) A.F1的大小是唯一的 B.F2的方向是唯一的 C.F2有两个可能的方向 D.F2可取任意方向,C,答案 C 由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出:,当F2=F20=25 N时,F1的大小才是唯一的,F2的方向才是唯一的。因F2=30 NF20=25 N,所以F1的大小有两个,即F1和F1,F2的方向有两个,即F2的 方向和F2的方向,故选项A、B、D错误,选项C正确。,2-2 (多选)已知力F,且它的一个分力F1跟F成30角,大小未知,另一个分 力F2的大小为 F,方向未知,则F1的大小可能是 ( ) A. B. C. D. F,AC,答案 AC,根据题意作出矢量三角形如图,因为 FF sin 30= ,从图上可以看 出,F1有两个解,由直角三角形OAD可知:FOA= = F。由直角 三角形ABD得:FBA= = F。由图的对称性可知:FAC=FBA= F, 则分力F1= F- F= F;F1= F+ F= F。,二、实际效果分解法,2-3 (多选)如图所示,用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花 板和竖直墙壁之间,重物处于静止状态,AO绳水平,OB绳与竖直方向的 夹角为,则AO绳的拉力FA、OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为 ( ) A.FA=G tan B.FA= C.FB= D.FB=G cos ,AC,答案 AC 绳子OC对O点的拉力FC等于重物的重力G。 将FC沿AO和BO方向分解,两个分力分别为FA、FB,如图所示。可得 =tan , = cos ,又FA=FA,FB=FB,解得FA=G tan ,FB= ,故A、C正 确。,2-4 如图所示,人曲膝下蹲时,膝关节弯曲的角度为,设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后,且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等,那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为 ( ) A. B. C. D.,D,答案 D 设大腿骨和小腿骨的作用力大小分别为F1、F2,且F1=F2,由力 的平行四边形定则易知F2 cos = ,对F2进行分解有F2y=F2 sin ,解得F2y = tan = ,则知脚掌所受地面竖直向上的弹力约为 ,D选项 正确。,1.分解方法:物体受到多个力F1、F2、F3作用,求合力F时,可把各力沿 相互垂直的x轴、y轴分解。 x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+ y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+ 合力大小:F= 合力方向:与x轴夹角为,则tan = 。,三、正交分解法,2.建立坐标系原则:以少分解力和容易分解力为原则。,2-5 受斜向上的恒定拉力作用,物体在粗糙水平面上做匀速直线运动, 则下列说法正确的是 ( ) A.拉力在竖直方向的分量一定大于重力 B.拉力在竖直方向的分量一定等于重力 C.拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力 D.拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力,D,答案 D 物体受力如图,因为物体做匀速直线运动,故所受合外力为 零,则:F cos =Ff,即Ff0,Ff=FN,即FN0,FN=mg-F sin ,所以mgF sin , 故只有D项符合题意。,2-6 如图所示,在倾角为的固定光滑斜面上,质量为m的物体受外力F1 和F2的作用,F1方向水平向右,F2方向竖直向上,若物体静止在斜面上,则 下列关系正确的是 ( ) A.F1 sin +F2 cos =mg sin ,F2mg B.F1 cos +F2 sin =mg sin ,F2mg C.F1 sin +F2 cos =mg sin ,F2mg,D.F1 cos +F2 sin =mg sin ,F2mg,B,答案 B 物体的受力如图,由平衡条件得 F1 sin +mg cos =F2 cos +N F1 cos +F2 sin =mg sin 由知 +F2=mg,故F2mg,故B正确。,考点三 “死结”和“活结” 1.“死结”模型 (1)“死结”是不可以沿绳子移动的结。 (2)“死结”可理解为把绳子分成两段,“死结”两侧的绳因“结”而 变成了两根独立的绳。 (3)“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。,2.“活结”模型 (1)“活结”是可以沿绳子移动的结点。 (2)“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳 子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳。 (3)“活结”也可以理解为把绳子分成两段。 (4)“活结”分开的两段绳子的弹力的大小一定相等,两段绳子合力的 方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。,3-1 (多选)如图所示,一根细线两端分别固定在A、B点,质量为m的物 体上面带一个小夹子,开始时用夹子将物体固定在图示位置,OA段细线 水平,OB段细线与水平方向的夹角为=45,现将夹子向左移动一小段距 离,移动后物体仍处于静止状态,关于OA、OB两段细线中的拉力大小, 下列说法正确的是 ( ),A.移动前,OA段细线中的拉力等于物体所受的重力大小 B.移动前,OA段细线中的拉力小于物体所受的重力大小 C.移动后,OB段细线中拉力的竖直分量不变 D.移动后,OB段细线中拉力的竖直分量变小,答案 AD 取O点为研究对象,受力如图所示,由图知:TOA=TOB cos ,TOB sin =mg,当=45时,TOA=mg,A对;向左移动一小段距离后,O点位置下移, OB段细线中拉力的竖直分量与OA段细线中拉力的竖直分量之和等于 物体所受的重力,则知OB段细线中拉力的竖直分量变小,D对。,3-2 如图所示,A、B两物体的质量分别为mA、mB,且mAmB,整个系统处 于静止状态,滑轮的质量和一切摩擦均不计,如果绳一端由Q点缓慢地向 左移到P点,整个系统重新平衡后,物体A的高度和两滑轮间绳与水平方 向的夹角的变化情况是 ( ) A.物体A的高度升高,角变大 B.物体A的高度降低,角变小 C.物体A的高度升高,角不变,D.物体A的高度不变,角变小,C,答案 C 最终平衡时,绳的拉力F大小仍为mAg,由二力平衡可得2F sin =mBg,故角不变,但因悬点由Q点移到P点,定滑轮左侧部分绳子变长, 故物体A应升高,故C正确。,3-3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直 杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静 止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是 ( ),AB,A.绳的右端上移到b,绳子拉力不变 B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大 C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小 D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移,答案 AB 衣架挂钩为“活结”模型,oa、ob为一根绳,两端拉力相 等,设绳aob长为L,M、N的水平距离为d,bo延长线交M于a,由几何知识 知ao=ao,sin = ,由平衡条件有2F cos =mg,则F= ,当b上移到b 时,d、L不变,不变,故F不变,选项A正确,C错误。将杆N向右移一些,L不 变,d变大,变大,cos 变小,则F变大,选项B正确。只改变m,其他条件不 变,则sin 不变,不变,衣架悬挂点不变,选项D错误。,
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