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2019-2020年高三上学期第一次月考(10月)数学(文)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1已知集合,则 2命题“,x23”的否定是 3设幂函数的图象经过点,则 4计算 5若则的值为 6.已知满足约束条件若的最大值为4,则的值为 .7公差不为的等差数列的前项和为,若成等比数列,则 8在平面直角坐标系xOy中,P是曲线C:yex上一点,直线l:x2yc0经过点P,且与曲线C在P点处的切线垂直,则实数c的值为 9若正实数满足,则的最小值为 10. 设为锐角,若,则的值为 .11. 如图所示的梯形中, 如果= .12. 已知函数f(x)sin(x)cosx (0)若函数f(x)的图象关于直线x2对称,且在区间,上是单调函数,则的取值集合为 .13. 已知函数f(x)是以4为周期的函数,且当1x3时,f(x)若函数yf(x)m|x|恰有10个不同零点,则实数m的取值范围为 .14. 已知函数f(x)xlnxax在(0,e)上是增函数,函数g(x)|exa|,当x0,ln3时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为,则a的值为 .2、 解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)设的内角所对的边分别为,若,(1)求的值;(2)求的值为. 16.(本小题满分14分)设:实数满足,其中;:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.17.(本小题满分14分)小张于年初支出万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出万元,假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售收入为万元(国家规定大货车的报废年限为年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?(利润=累积收入+销售收入-总支出)18.(本小题满分16分)如图所示,某公路AB一侧有一块空地OAB,其中OA3 km,OB3 km,AOB90当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且MON30(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置,使OMN的面积最小,并求出最小面积OABMNOABMN19.(本小题满分16分)设,函数.(1)证明在上仅有一个零点;(2)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:20.(本小题满分16分)设数列的前项和为,且满足,为常数(1)是否存在数列,使得?若存在,写出一个满足要求的数列;若不存在,说明理由(2)当时,求证:(3)当时,求证:当时,参考答案1. 2., 3. 4. 5.3 6. 2784ln2. 910 11.12., 13.(,82) 14.15. .解:1)在中,由正弦定理,得由余弦定理=-7分 2)-10分16.解:(1)由,得,又,所以,当时,即为真时实数的取值范围是.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则实数的取值范围是.(2)是的必要不充分条件,等价于且,设,则;则,所以实数的取值范围是.17.解:(1)设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元, 则, 即, 由,解得, 而,故从第三年开始运输累计收入超过总支出. (2)因为利润=累积收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小张的年平均利润 为, 而,当且仅当时等号成立。 答:第5年底出售货车,年平均利润最大.18.解:(1)在OAB中,因为OA3,OB3,AOB90,所以OAB60在OAM中,由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcosA7,所以OM,所以cosAOM,在OAN中,sinONAsin(AAON) sin(AOM90)cosAOM在OMN中,由,得MN(2)解法1:设AMx,0x3在OAM中,由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcosAx23x9,所以OM,所以cosAOM,在OAN中,sinONAsin(AAON) sin(AOM90)cosAOM由,得ON所以SOMNOMONsinMON,0x3令6xt,则x6t,3t6,则SOMN(t9)(29)当且仅当t,即t3,x63时等号成立,SOMN的最小值为所以M的位置为距离A点63 km处,可使OMN的面积最小,最小面积是 km2解法2:设AOM,0在OAM中,由,得OM在OAN中,由,得ON所以SOMNOMONsinMON,0当2,即时,SOMN的最小值为所以应设计AOM,可使OMN的面积最小,最小面积是 km219.解:(1)f(x)=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2f(x)0,-2分f(x)=(1+x2)exa在(,+)上为增函数a11a0又f(0)=1a,f(0)0,使得f(x)在(,+)上有且只有一个零点-7分(2)证明:f(x)=ex(x+1)2,设点P(x0,y0)则)f(x)=ex0(x0+1)2,y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,f(x0)=0,即:ex0(x0+1)2=0,x0=1-9分将x0=1代入y=f(x)得y0=,-11分令;g(m)=em(m+1)g(m)=em(m+1),则g(m)=em1,由g(m)=0得m=0当m(0,+)时,g(m)0当m(,0)时,g(m)0g(m)的最小值为g(0)=0 -13分g(m)=em(m+1)0emm+1em(m+1)2(m+1)3即:m-16分解:(1)若,则,即,即,则,所以不存在数列使得(2)由得,当时,两式相减得,即,当时,即,综上,(3)证1:由得,当时,两式相减得,解得,所以当时,因为,又由可见,所以;另一方面,故证2:由得,所以当时,下同证1.
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