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第八章 立体几何,第 1 讲,空间几何体的三视图和直观图,1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能,运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构,2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 等简易组合图形)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体 模型，会用斜二测画法画出它们的直观图,3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的,三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式,4会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的,基础上，其尺寸、线条等不作严格要求),1多面体的结构特征,(1)棱柱的侧棱都互相平行，上、下底面是互相平行且全等,的多边形,(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三,角形,(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面,是相似多边形,注意：(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底 面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正 多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形,(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正棱 锥叫做正多面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点 在底面的射影是底面正多边形的中心,2旋转体的几何特征,(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转,一周而形成的曲面所围成的几何体,(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转 轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 (3)圆台：类似于棱台，圆台可看作是用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分类似于圆锥的形 成过程，圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的 直线旋转，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体 (4)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一,周形成的几何体,3空间几何体的三视图 (1)几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图，又称 为主视图、左视图、俯视图 (2)三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即 _ 视图和侧视图一样高，正视图和_ 视图一样长，,_视图和俯视图一样宽,正,俯,侧,注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分 界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法,4用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤：画轴、取点、成图,(2)图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中仍平行于 x轴 且长度保持不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中仍平行于 y 轴且长度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通过确 定端点的办法来解决,(3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的 z轴， 图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度保 持不变,1如图 8-1-1 所示的是一幅电热水壶的主视图，它的俯视,图是(,),D,图 8-1-1,2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外 面朝上展平，得到如图 8-1-2 所示的平面图形，则标“”的,面的方位是(,),B,图 8-1-2,A南,B北,C西,D下,3(2013 年四川)一个几何体的三视图如图 8-1-3，则该几,D,何体的直观图可以是( A C,) B D,图 8-1-3,4小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形,成的投影不可能是(,),A,考点 1,空间几何体的结构特征,例 1：(1)如图 8-1-4，模块均由 4 个棱长为 1 的小正 方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成现从模块 中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为,3 的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为(,),图 8-1-4,A模块 C模块,B模块 D模块,解析：本小题主要考查空间想象能力先补齐中间一层， 只能用模块或，且如果补，则后续两块无法补齐，所以 只能先用补中间一层，然后再补齐其他两块,答案：A,(2)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几 何体形的 4 个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确 结论的编号),矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直 角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等 边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体,解析：如图D28，四边形AA1C1C 为矩形；三棱锥 B1-A1BC1 就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四 面体；三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体； 三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体,图 D28,答案：,【互动探究】 1正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶 点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共,有(,D,) A20 条 C12 条,B15 条 D10 条,解析：正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面 中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共 有 5210(条),考点 2,几何体的三视图,例 2：(1)(2014 年新课标)如图 8-1-5，网格纸的各小格都 是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何,体是(,),图 8-1-5,A三棱锥,B三棱柱,C四棱锥,D四棱柱,解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可,得几何体如图 D29.,图 D29,答案：B,答案：D 【规律方法】画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等” 的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧 视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的线条为虚线.,【互动探究】 2将正方体(如图 8-1-6)截去两个三棱锥，得到如图 8-1-7,所示的几何体，则该几何体的侧视图为( 图 8-1-6,) 图 8-1-7,解析：画出三视图如图 D30.故选 B.,图 D30,答案：B,考点 3,几何体的直观图,例 3：已知正三角形 ABC 的边长为 ，那么aABC 的平面,直观图ABC的面积为(,),解析：如图 8-1-8(1)(2)所示的实际图形和直观图 图 8-1-8,答案：D,【规律方法】用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放 置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点 的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法 的规则.先画出正三角形 ABC 的平面直观图A BC，再求 A BC的高即可.本题采用斜二测画法作其直观图时，底 不变，第三个顶点在 y轴上，长度为原高的一半，但它还不,【互动探究】 3一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于,(,),D,易错、易混、易漏 将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例题：(2013 年山西诊断)如图 8-1-9，水平放置的三棱柱的 侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1底面A1B1C1，正视图是,),边长为 2 的正方形，该三棱柱的侧视图面积为( 图 8-1-9,答案：B 【失误与防范】三视图还原求面积或体积时一定要注意几 何体摆放的形式，所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高),
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