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第 11 讲,抽象函数,1了解函数模型的实际背景,2会运用函数的解析式理解和研究函数的性质,1已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x)0，则 f(x)是,(,),B,A奇函数 C非奇非偶函数,B偶函数 D不确定,解析：令xy0，则2f(0)2f(0)2，因f(x)0，所以f(0) 1.令 x0，则 f(y)f(y)2f(y)，f(y)f(y)故选B.,C,A,0,考点1,正比例函数型抽象函数,例1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)， 且当 x0 时，f(x)0，f(1)2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问在3x3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最 值；如果没有，说出理由,令 yx，则有 f(0)f(x)f(x) 即 f(x)f(x)f(x)是奇函数,(2)解：当3x3 时，f(x)有最值，理由如下： 任取 x10f(x2x1)0.,f(x1)f(x2)yf(x)在 R 上为减函数,因此 f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值 f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6. 函数的最大值为 6，最小值为6.,(1)证明：令 xy0，则有 f(0)2f(0)f(0)0.,【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握好 如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去 掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数 符号“f ”.,(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)0f(x),是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性.,(3)判断单调性小技巧：设 x10f(x2x1)0 f(x2)f(x2 x1 x1)f(x2 x1)f(x1)f(x1)，得到函数单调递 减.,【互动探究】 1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则,下列错误的是(,),答案：D,考点 2,对数函数型抽象函数,例 2：已知函数 f(x)的定义域为x|xR，且 x0，对定义 域内的任意x1，x2，都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当 x1时 f(x)0， f(2)1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (3)解不等式 f(2x21)2.,则有 f(x)f(x)f(1) 又令x1x21，得 2f(1)f(1) 再令 x1x21，得 f(1)0，从而 f(1)0. 于是有 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数,(1)证明：对定义域内的任意 x1，x2 都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x，x21，,【互动探究】 2对于函数 f(x)定义域中任意 x1，x2(x1x2)有如下结论： f(x1x2)f(x1)f(x2)； f(x1x2)f(x1)f(x2)；,当 f(x)lgx 时，上述结论中正确结论的序号是_,考点3,指数函数型抽象函数,例3：定义在R上的函数 yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1， 且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b) (1)求证：f(0)1； (2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范围 (1)证明：令ab0，则 f(0)f 2(0) f(0)0，f(0)1.,f(x2)f(x1)f(x)是 R 上的增函数,(4)解：由f(x)f(2xx2)1，f(0)1 得 f(3xx2)f(0) f(x)是R 上的增函数，3xx20.0x3. x 的取值范围是x|0x3,【互动探究】 3.对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2(x1x2)，有如下结论： f(x1x2)f(x1)f(x2)； f(x1x2)f(x1)f(x2)；,当 f(x)2x 时，上述结论中正确结论的序号是_,答案：,思想与方法 利用转化与化归思想解答抽象函数,答案：,
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