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数学 苏 （理）,13.1 合情推理与演绎推理,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,一、合情推理 1.归纳推理 (1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法). (2)特点：归纳推理是由 到整体、由 到一般的推理.,部分,个别,2.类比推理 (1)定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法). (2)特点：类比推理是由 到 的推理.,特殊,特殊,3.合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.,二、演绎推理 1.演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理. 2.“三段论”是演绎推理的一般模式 (1)大前提已知的 ； (2)小前提所研究的 ； (3)结论根据一般原理，对 做出的判断.,一般,特殊,一般原理,特殊对象,特殊对象,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( ),18,观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为 (1)n1n2.,解析,等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.,设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n .,解析,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,先正确计算各式的值，再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳.,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,证明：设x1x21，,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同特征； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.,例1 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,题型一 归纳推理,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1 (1)观察下列等式,11 2349 3456725 4567891049 ,照此规律，第五个等式应为_ _.,解析 由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.,解析 567891011121381,思维点拨,解析,思维升华,例2 已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则 可以得到bmn_.,题型二 类比推理,等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.,例2 已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则 可以得到bmn_.,题型二 类比推理,思维点拨,解析,思维升华,例2 已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则 可以得到bmn_.,题型二 类比推理,设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.,思维点拨,解析,思维升华,(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.,例2 已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则 可以得到bmn_.,题型二 类比推理,思维点拨,解析,思维升华,(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.,例2 已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则 可以得到bmn_.,题型二 类比推理,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练2 在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论： 1.把它类 比到空间，则三棱锥中的类似结论为_.,解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论： 1.,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；,题型三 演绎推理,思维点拨,解析,证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图 象上.小前提是f(x) (a0，且a1)的图象关于点( ， )对称.,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；,题型三 演绎推理,思维点拨,解析,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；,题型三 演绎推理,思维点拨,解析,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；,题型三 演绎推理,思维点拨,解析,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (1)证明：函数yf(x)的图象关于点( ， )对称；,题型三 演绎推理,1yf(1x)，,思维点拨,解析,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.,思维升华,解析,解 由(1)知1f(x)f(1x)，,即f(x)f(1x)1.,f(2)f(3)1， f(1)f(2)1，,f(0)f(1)1.,则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.,思维升华,解析,演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,例3 已知函数f(x) (a0，且a1). (2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.,思维升华,解析,跟踪训练3 已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.,证明 设x1，x2R，取x1x2，,则由题意得x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，,x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)(x2x1)0，,x1x2，,f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1).,yf(x)为R上的单调增函数.,高频小考点11 高考中的合情推理问题,五边形数 N(n,5) n2 n， 六边形数 N(n,6)2n2n 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.,解析 由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k) n2 n，,N(10,24) 100 10 1 1001001 000.,答案 1 000,解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,解析 归纳观察法.,观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.,温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误 .应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳. (2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.,方 法 与 技 巧,1.合情推理的过程概括为,2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.,失 误 与 防 范,1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.,2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.,3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.,1.数列2,5,11,20，x,47，中的x_.,解析 523,1156,20119， 推出x2012，所以x32.,32,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理_. 结论正确 大前提不正确 小前提不正确 全不正确,解析 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3.下列推理是归纳推理的是_. A，B为定点，动点P满足PAPB2aAB，则P点的轨迹为椭圆； 由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式； 由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆 1的面积Sab； 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理.,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,答案 ,4.给出下列三个类比结论： (ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2. 其中正确结论的个数是_.,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,解析 (ab)nanbn(n1，ab0)，故错误.,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,sin()sin sin 不恒成立.,如30，60，sin 901，sin 30sin 60 ， 故错误.,答案 1,由向量的运算公式知正确.,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,解析 若an是等差数列，,若cn是等比数列，,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,答案 ,6.仔细观察下面和的排列规律： 若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_.,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,解析 进行分组| |，,答案 14,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,易知f(14)119，f(15)135，故n14.,7.在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的 ”.拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的_.,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,解析 设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，,由等面积法知3arah，所以r h；,同理，由等体积法知4SRHS，所以R H.,8.(2013陕西)观察下列等式： (11)21 (21)(22)2213 (31)(32)(33)23135 照此规律，第n个等式可为_.,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n13(2n1).,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,答案 (n1)(n2)(nn)2n13(2n1),9.已知等差数列an的公差d2，首项a15. (1)求数列an的前n项和Sn；,解 a15，d2，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,(2)设Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律.,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,解 Tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.,T15，T2422218，T3432339，,T4442468，T54525105.,S15，S22(24)12，S33(34)21，,S44(44)32，S55(54)45.,由此可知S1T1，当2n5，nN时，SnTn.,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,归纳猜想：当n1时，SnTn；当n2，nN时，SnTn.,10.在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证： ，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,解 如图所示，由射影定理,AD2BDDC，AB2BDBC，,AC2BCDC，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,又BC2AB2AC2，,猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF.,AB平面ACD.,ABAC，ABAD，,ABAF.,在RtABF中，AEBF，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,1.已知正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是_.,2,3,4,5,1,解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等.,正方形的对角线相等,2.设是R的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a，bA，有abA，则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是_. 自然数集 整数集 有理数集 无理数集,3,4,5,1,2,解析 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；,答案 ,错：因为整数集对除法不封闭；,对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；,错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.,3,4,5,1,2,2,4,5,1,3,2,4,5,1,3,2,4,5,1,3,4.数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1 Sn(nN*).证明： (1)数列 是等比数列；,证明 an1Sn1Sn，an1 Sn，,(n2)Snn(Sn1Sn)，,2,3,5,1,4,即nSn12(n1)Sn.,故 是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论),(大前提是等比数列的定义，这里省略了),2,3,5,1,4,(2)Sn14an.,又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提),对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论),2,3,5,1,4,2,3,4,1,5,解 f(x)x2x3，f(x)2x1，,由f(x)0，即2x10，解得x .,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,
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