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10.4 直线与圆锥曲线的位置关系,高考理数,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥 曲线r的方程F(x,y)=0中,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即 消去y后得ax2+bx+c=0. (1)当a0时,若 0 ,则直线l与曲线r相交;若 =0 ,则直线l与曲线r相切;若 0 ,则直 线l与曲线r相离. (2)当a=0时,得到一个一次方程,则直线l与曲线r相交,有且只有一个交点,此时,若r为双曲线,则直 线l与双曲线的 渐近线 平行;若r为抛物线,则直线l与抛物线的 对称轴 平行或重合. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1,y1),(x2,y2)是方程组 的两组解,方程组消元后化为关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),判别式=,知识清单,b2-4ac,应有0,所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系(韦达定理)得x1+x2=- ,x 1x2= ,所以A、B两点间的距离|AB|= |x1-x2| ,即弦长公式(其中k为直线l的斜率),也可以 写成关于y的形式,其弦长公式为|AB|= |y1-y2| (k0).特殊地,如果直线l过抛物线的焦 点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,此时,弦长公式|AB|= x1+x2+p . 3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系 (1)已知AB是椭圆 + =1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的 斜率,则kAB=- . (2)已知AB是双曲线 - =1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则kAB= .,(3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则kAB= . 【知识拓展】 1.直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题是解析几何中的主要内容之一,也是高考的一个热点问 题,常利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)直接得到两交点坐标之和与之积,也可用平 方差找到两交点坐标之和,直接与中点坐标建立联系.一般有以下三类问题:(1)求中点弦所在直 线方程;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,求弦中点的坐标. 2.有关曲线关于直线对称的问题,只需注意两点关于一条直线对称的条件:(1)两点连线与该直线 垂直(两直线都有斜率时,斜率互为负倒数);(2)两点所连线段的中点在此直线上(中点坐标适合 直线方程).,有关直线与圆锥曲线的位置关系存在两类问题:一是判断位置关系,二是依据位置关系确定 参数的范围.这两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式 及根与系数的关系进行求解. 例1 (2012重庆,20,12分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左,右焦点分别 为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.,突破方法,方法1 直线与圆锥曲线的位置关系,解题导引 (1)设标准方程为 + =1(ab0)由AB1B2为直角三角形得AOB2 为等腰直角三角形得b= ,结合c2=a2-b2,求e由 =4, 求a2,b2标准方程 (2)设l的方程为x=my-2, 与椭圆方程联立设P(x1,y1), Q(x2,y2)利用根与系数的关系求 y1+y2,y1y2由PB2QB2得 =0得关于m的 方程,求m得直线l 的方程 解析 (1)设所求椭圆的标准方程为 + =1(ab0),右焦点为F2(c,0). 因为AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则b= ,又c2=a2-b2, 所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e= = . (3分) 在RtAB1B2中,OAB1B2,故 = |B1B2|OA|=|OB2|OA|= b=b2.,由题设条件 =4得b2=4,从而a2=5b2=20. 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. (6分) (2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0). 由题意知直线l的倾斜角不为0, 故可设直线l的方程为x=my-2. 代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根, 因此y1+y2= ,y1y2=- . (8分) 又 =(x1-2,y1), =(x2-2,y2), 所以 =(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 =- - +16=- , (10分) 由PB2QB2,得 =0,即16m2-64=0,解得m=2.,所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. (12分) 1-1 (2015云南二模,20)已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点M,E(x0,0)是x轴上的点,直线l经过 M与抛物线C交于A、B两点. (1)设l的斜率为 ,x0=5,求证:点E在以线段AB为直径的圆上; (2)设A、B都在以点E为圆心的圆上,求x0的取值范围. 解析 由已知得M(-1,0),直线l的斜率存在且不为零,设l的方程为y=k(x+1)(k0),由 得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0. 由直线l与抛物线C交于A、B两点得=4(k2-2)2-4k40,解得k21. 0k21. 设A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k),则 (1)当k= ,x0=5时, E(5,0),A ,B . = , = . =x1x2-5(x1+x2)+25+ x1x2+(x1+x2)+1=0, ,即EAEB. 点E在以线段AB为直径的圆上. (2)A、B都在以点E为圆心的圆上,|EA|=|EB|, 设AB的中点为D,则D . |EA|=|EB|,DEAB. k0,kDEk=-1,解得x0=1+ .03. x0的取值范围为(3,+).,“中点弦”问题常用“根与系数的关系”和“点差法”求解,关键是构造出x1+x2,y1+y2,x1- x2,y1-y2,从而建立中点坐标与方程的系数、斜率的关系. 例2 已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的中点M的坐标为(1,1),求直线AB的 方程. 解析 解法一:设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y=k(x-1)+1,代入椭圆方程,整理得 (9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0. 设A,B的横坐标分别为x1,x2, 则 =- =1,解得k=- . 故直线AB的方程为y=- (x-1)+1,即4x+9y-13=0. 解法二:设A(x1,y1). AB的中点为M(1,1),B点的坐标是(2-x1,2-y1). 将A,B点的坐标代入方程4x2+9y2=36,得,方法2 相交弦的中点问题,4 +9 -36=0, 及4(2-x1)2+9(2-y1)2=36, 化简为4 +9 -16x1-36y1+16=0. -,得16x1+36y1-52=0,化简为4x1+9y1-13=0. 同理可推出4(2-x1)+9(2-y1)-13=0. A(x1,y1)与B(2-x1,2-y1)都满足方程4x+9y-13=0, 4x+9y-13=0即为所求. 解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),将其代入椭圆方程,得 -,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, M(1,1)为弦AB的中点,x1+x2=2,y1+y2=2. 4(x1-x2)+9(y1-y2)=0. kAB= =- . 故直线AB的方程为y-1=- (x-1),即4x+9y-13=0.,
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