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2.1 函数概念与基本初等函数,高考理数,1.函数的有关概念 (1)函数的定义:设A、B为两个非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集 合B的一个函数,记作y=f(x),xA,其中x叫 自变量 . (2)映射的定义:设A,B为两个非空集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意 一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一 个映射. 2.函数的三要素 其中定义域是函数的基础,对应关系是函数的关键.定义域和 对应关系 确定了,值域也随之 确定.,知识清单,3.函数的表示方法 函数关系常用的三种表示方法: 解析法,图象法和列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同,而分别用几个不同的式子来表示,这种函数 就称为 分段函数 .分段函数虽然由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 【知识拓展】 1.函数与映射的概念,2.函数的定义域分为自然定义域和实际定义域两种,如果给定函数的解析式(不注明定义 域),其定义域指的应是使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),如果函数是 由实际问题确定的,这时应根据自变量的实际意义来确定.函数的值域是由全体函数值组成的 集合.,方法1 函数定义域的求法 1.求函数定义域要从对函数的定义域的理解开始.函数的定义域是使函数解析式有意义的 自变量的取值范围.认清楚自变量后,就要从使解析式有意义的角度入手了.一般来说,在高中范 围内涉及的有:(1)开偶次方时被开方数为非负数,(2)分式的分母不为零,(3)零次幂的底数不为零, (4)对数的真数大于零,(5)指数、对数的底数大于零且不等于1,(6)实际问题还需要考虑使题目本 身有意义. 2.求复合函数的定义域一般有两种情况: (1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=fg(x)的定义域,可由g(x)A求出x的范围,即为y=fg(x)的定义 域. (2)已知y=fg(x)的定义域是A,求y=f(x)的定义域,可由xA求g(x)的范围(即y=g(x)的值域),即为y= f(x)的定义域.,突破方法,方法2 求函数解析式的常用方法 1.配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f (x)的表达式; 2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; 3.换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 4.解方程(组)法:已知关于f(x)与f 或f(x)与f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另一个等 式,组成方程组,通过解方程组求出f(x). 注意:应用问题求函数解析式时常用待定系数法. 例2 (1)若f(ln x)=3x+4,则f(x)= ( ) A.3ln x B.3ln x+4 C.3ex D.3ex+4 (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则函数f(x)的解析式为 ; (3)已知f(x)+2f =3x,则f(x)的解析式为 .,(1)令t=ln x反解出x代入f(ln x)=3x+4求f(x)的表达式 (2)设f(x)=ax+b(a,bR, 且a0)结合条件列出关于x 的等式,求参数a,b求f(x)的解析式 (3)用 替换x求f(x)的解析式 解析 (1)令t=ln x,则x=et, 所以f(t)=3et+4,所以f(x)=3ex+4,故选D. (2)根据题意,设f(x)=ax+b(a、bR,且a0), f(x+1)=a(x+1)+b, 3f(x+1)-f(x)=3a(x+1)+b-(ax+b) =2ax+(3a+2b)=2x+9. 解得a=1,b=3. f(x)=x+3.故答案为f(x)=x+3.,解题导引,(3)f(x)+2f =3x, 用 替换x得 f +2f(x)=3 2f +4f(x)=6 , 联立,解得f(x)= -x. 故答案为f(x)= -x. 答案 (1)D (2)f(x)=x+3 (3)f(x)= -x 2-1 (1)若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式为( ) A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1 C.g(x)=2x-3 D.g(x)=2x+7 (2)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的表达式; (3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式. 答案 (1)B,解析 (1)f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1, g(x)=2x-1,故选B. (2)由题意可设f(x)=ax2+bx(a0), 则a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1, 解得a= ,b= . f(x)= x2+ x. (3)由题意知当x(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 用-x替换x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). 由消去f(-x)得 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x(-1,1).,
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