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第1课时 函数的零点,第3章 3.4.1 函数与方程,1.理解函数零点的定义，会求函数的零点. 2.掌握函数零点的判定方法. 3.了解函数的零点与方程的根的联系.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 函数的零点,函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的 ，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的 .,实数根,横坐标,思考 函数的零点是点吗？,答 函数yf(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点， 因此函数的零点不是点，是方程f(x)0的解， 即函数的零点是一个实数.,答案,知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系,方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数 yf(x) .,x轴,有零点,知识点三 函数零点的判定定理,若函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条 的曲线，且 .则函数yf(x)在区间(a，b)上有零点.,不间断,f(a)f(b)0,答案,返回,思考 (1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0一定成立吗？,答 不一定.可能yf(x)在xa或yb处无定义； 即使有定义，也可能f(a)f(b)0. 如函数y(x1)2在(0,2)内有零点， 但f(0)f(2)0.,(2)若函数f(x)在a，b上有f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？,答 不一定， 如y(x1)2，在0,2上f(0)f(2)0， 但f(x)在(0,2)上有零点1.,答案,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 求函数的零点,例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)x27x6；,解 解方程f(x)x27x60， 得x1或x6，,(2)f(x)1log2(x3)；,解 解方程f(x)1log2(x3)0，得x1， 所以函数的零点是1.,所以函数的零点是1，6.,(3)f(x)2x13；,反思与感悟,解 解方程f(x)2x130，得xlog26， 所以函数的零点是log26.,解析答案,所以函数的零点为6.,反思与感悟,求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.,解析答案,跟踪训练1 函数yx1的零点是_.,解析 令yx10，得x1， 故函数yx1的零点为1.,1,解析答案,题型二 判断函数零点所在区间,例2 已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则下列区间中包含f(x)零点的一个区间是_. (3,4)； (2,3)； (1,2)； (0,1).,反思与感悟,解析 f(0)10，f(3)230，f(4)590. f(1)f(2)0，此零点一定在(1,2)内.,(1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象. (2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 下列四个区间中，函数f(x)exx2所在的一个区间是_. (2，1)； (1,0)； (0,1)； (1,2).,解析 f(0)e00210， f(1)e112e10， f(0)f(1)0， f(x)在(0,1)内有零点.,题型三 判断函数零点的个数,解析答案,反思与感悟,例3 判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 函数对应的方程为ln xx230， 所以原函数零点的个数即为函数yln x 与y3x2的图象交点个数.,在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).,由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点. 从而ln xx230有一个根， 即函数yln xx23有一个零点.,反思与感悟,方法二 由于f(1)ln 112320， f(2)ln 2223ln 210，所以f(1)f(2)0， 又f(x)ln xx23的图象在1,2上是不间断的， 所以f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个.,判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 函数f(x)ln xx2的零点个数为_.,解析 如图所示，分别作出yln x，yx2的图象，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点.,2,解析答案,题型四 一元二次方程ax2bxc0(a0)的区间根问题,例4 关于x的方程x22ax40的两根均大于1，求实数a的取值范围.,反思与感悟,解析答案,解 方法一 (应用求根公式),反思与感悟,解析答案,方法二 (应用根与系数的关系) 设x1，x2为方程x22ax40的两根， 则有x1x22a，x1x24. 要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，,反思与感悟,方法三 (应用二次函数的图象),反思与感悟,设f(x)x22ax4，图象如图所示.,在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面：与0的关系；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4 已知函数f(x)ax22ax1有两个零点x1，x2，且x1(0,1)， x2(4，2)，求a的取值范围.,解 f(x)ax22ax1的图象是连续的且两点x1，x2满足x2(4，2)， x1(0,1).,数形结合思想,解决思想的方法,解析答案,例5 已知关于x的方程|x24x3|a0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_.,解析 如图所示，由图象知直线y1与y|x24x3|的图象有三个交点，,则方程|x24x3|1有三个不相等的实数根， 因此a1.,1,反思与感悟,求解这类问题可先将原式变形为f(x)g(x)，则方程f(x)g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解.,反思与感悟,跟踪训练5 当m为何值时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根？,解析答案,返回,解 令f(x)x24|x|5，作出其图象，,由图象可知，当1m5时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根,如图所示，,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数y4x2的零点是_.,1,2,3,4,5,解析答案,2.对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则下列说法正确的是_. 方程f(x)0一定有实数解； 方程f(x)0一定无实数解； 方程f(x)0一定有两实数解； 方程f(x)0可能无实数解.,解析 函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续， 故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解.,1,2,3,4,5,解析答案,3.在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为_.,1,2,3,4,5,解析答案,4.方程2xx20的解的个数是_.,解析 在同一坐标系中画出函数y2x及yx2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.,3,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知函数f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比0大，一个零点比0小， 则实数a的取值范围为_.,解析 由题意可知f(0)a20，解得a2.,(，2),课堂小结,1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点. 2.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标. 3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.,返回,
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