资源描述
第一章 1.1.3 集合的基本运算,第2课时 补集及集合运算的综合应用,1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集. 2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集. (2)记法：全集通常记作 . 思考 全集一定是实数集R吗？ 答 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.,答案,U,所有元素,知识点二 补集,答案,x|xU，且xA,不属于集合A,UA,思考 设集合A1,2，那么相对于集合M0,1,2,3和N1,2,3，MA和NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识. 答 MA0,3，NA3，MANA. 由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.,答案,知识点三 补集的性质 A(UA)U； A(UA)； UU ，UU，U(UA) ； (UA)(UB)U(AB)； (UA)(UB)U(AB).,A,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 简单的补集运算 例1 (1)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则U A等于( ) A.1,2 B.3,4,5 C.1,2,3,4,5 D. (2)若全集UR，集合Ax|x1，则U A_. 解析 (1)U1,2,3,4,5，A1,2， UA3,4,5. (2)由补集的定义，结合数轴可得U Ax|x1.,解析答案,B,x|x1,反思与感悟,1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解. 2.解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(U A)U.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 已知全集Ux|x3，集合Ax|3x4，则U A_. 解析 借助数轴得U Ax|x3，或x4.,x|x3，或x4,解析答案,题型二 补集的应用 例2 设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，求实数a的值. 解 UA5，5U，且5A. a22a35，解得a2，或a4. 当a2时，|2a1|35，此时A3,2，U2,3,5符合题意. 当a4时，|2a1|9，此时A9,2，U2,3,5，AU，故a4舍去. 综上知a2.,反思与感悟,反思与感悟,1.由UA5可知5U且5A，AU. 2.由UA5求得a后需验证是否符合隐含条件AU，否则会把a4误认为是本题的答案. 3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.,解析答案,跟踪训练2 若全集U2,4，a2a1，Aa4,4，UA7，则实数a_. 解析 因为UA7，所以7U且7A，所以a2a17，解得a2或a3. 当a3时，A4,7与7A矛盾，a2满足题意，所以a2.,2,解析答案,反思与感悟,题型三 并集、交集、补集的综合运算 例3 已知全集Ux|5x3，Ax|5x1，Bx|1x1，求UA，UB，(UA)(UB). 解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则UAx|1x3； UBx|5x1，或1x3； 方法一 (UA)(UB)x|1x3. 方法二 ABx|5x1， (UA)(UB)U(AB)x|1x3.,反思与感悟,求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.,解析答案,跟踪训练3 设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B. 解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下： 由图知，ABx|2x10， R(AB)x|x2，或x10. RAx|x3，或x7， (RA)Bx|2x3，或7x10.,解析答案,反思与感悟,题型四 利用Venn图解题 例4 设全集U不大于20的质数，AUB3,5，(UA)B7,11，(UA)(UB)2,17，求集合A，B. 解 U2,3,5,7,11,13,17,19， A(UB)3,5，3A,5A，且3B,5B， 又(UA)B7,11， 7B,11B且7A,11A. (UA)(UB)2,17， U(AB)2,17. A3,5,13,19，B7,11,13,19.,反思与感悟,解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在AB中，哪些元素既不在A中也不在B中.,解析答案,跟踪训练4 全集Ux|x10，xN*，AU，BU，(UB)A1,9，AB3，(UA)(UB)4,6,7，求集合A，B. 解 方法一 根据题意作出Venn图如图所示. 由图可知A1,3,9，B2,3,5,8. 方法二 (UB)A1,9， (UA)(UB)4,6,7， UB1,4,6,7,9. 又U1,2,3,4,5,6,7,8,9，B2,3,5,8. (UB)A1,9，AB3，A1,3,9.,补集思想的应用,解题思想方法,解析答案,例5 已知集合Ax|x2ax10，Bx|x22xa0，Cx|x22ax20.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 解 假设三个方程均无实根，则有,反思与感悟,反思与感悟,对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.,解析答案,返回,跟踪训练5 已知集合Ax|x24ax2a60，Bx|x0，若AB，求a的取值范围.,解 因为AB，所以A， 即方程x24ax2a60有实数根， 所以(4a)24(2a6)0， 即(a1)(2a3)0，,解析答案,又Bx|x0， 所以方程x24ax2a60至少有一个负根.,返回,由取公共部分得a1. 即当AB时，a的取值范围为a|a1.,若方程x24ax2a60有根，但没有负根，,当堂检测,1,2,3,4,5,1.设全集U1,2,3,4,5，集合M1,2,4，则集合UM等于( ) A.1,2,4 B.3,4,5 C.2,5 D.3,5,D,答案,1,2,3,4,5,解析答案,2.已知全集UR，集合Ax|12x14 B.x|x0或x4 C.x|x0或x4 D.x|x0或x4 解析 因为UR，Ax|0x4， 所以UAx|x0或x4.,D,1,2,3,4,5,3.已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)等于( ) A.2,5 B.3,6 C.2,5,6 D.2,3,5,6,8 解析 由题意知，UB2,5,8， 则A(UB)2,5，选A.,解析答案,A,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知全集UZ，集合A0,1，B1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.1,2 B.1,0 C.0,1 D.1,2 解析 图中阴影部分表示的集合为(UA)B，因为A0,1，B1,0,1,2，所以(UA)B1,2.,A,1,2,3,4,5,解析答案,经检验，a2符合题意，故实数a的值为2.,5.已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，求实数a的值. 解 UP1，1U，且1P,0P.,课堂小结,1.补集定义的理解 (1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集. (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想. (3)从符号角度来看，若xU，AU，则xA和xUA二者必居其一. 求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.,返回,2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形. 3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.,
展开阅读全文