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第三章,推理与证明,学习目标,1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.,1 归纳与类比 1.2 类比推理,1,知识梳理 自主学习,2,题型探究 重点突破,3,当堂检测 自查自纠,知识点一 类比推理,(1)类比推理的含义 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据 ,推断 ,这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 的推理.,一类对象的其他特征,另一类对象也具有类似的其他特征,两类事物特征之间,(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的. (4)思维过程流程图：,(2)类比推理的特征 类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比,思考 类比推理的结论能作为定理应用吗？,答 不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.,(1)合情推理的含义 根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 和 是最常见的合情推理.,归纳推理,类比推理,知识点二 合情推理,(2)思维过程流程图,根据 和 ,按照 得到新结论的推理过程.,已知的事实,正确的结论,严格的逻辑法则,知识点三 演绎推理,题型一 平面图形与空间图形的类比,例1 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形. (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.,通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：,解,反思与感悟 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比,是解决和处理立体几何问题的重要方法.,跟踪训练1 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( ) 各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. A. B. C. D.,解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫类比推理,上述三个结论均符合推理结论,故均正确. 答案 C,例2 已知以下过程可以求123n的和. 因为(n1)2n22n1, n2(n1)22(n1)1, 2212211, 有(n1)212(12n)n,题型二 解题方法的类比,类比以上过程求122232n2的和. 解 因为(n1)3n33n23n1, n3(n1)33(n1)23(n1)1, 2313312311,有(n1)313(1222n2)3(123n)n,反思与感悟 典型的数学方法往往可以解决一类问题,培养学生总结、反思、举一反三的习惯,可以提高学生的知识迁移能力和灵活应用知识的能力.而解决问题需要我们展开丰富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难度,先解决较简单的问题,再类比到复杂问题,常常可达到柳暗花明的成效.,解析 本题要求类比课本中等差数列的求和方法,即“倒序相加法”. 令tf(5)f(4)f(0)f(5)f(6), 则tf(6)f(5)f(0)f(4)f(5),例3 在等差数列an中,若a100,则有等式a1a2ana1a2a19n(n19,nN)成立.类比上述性质,相应的,在等比数列bn中,若b91,则有什么样的等式成立？,题型三 等差数列与等比数列的类比,解 在等差数列an中,由a100,得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100, 所以a1a2ana190, 即a1a2ana19a18an1, 又a1a19,a2a18,a19nan1, a1a2ana1a2a19n, 相应的,在等比数列bn中,若b91,则可得 b1b2bnb1b2b17n(n17,nN).,反思与感悟 1.在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列,平面几何与立体几何,平面向量与空间向量三个方面.2.在等差数列与等比数列的类比中,等差数列中的和类比等比数列中的积,差类比商,积类比幂. 如通项公式：ana1(n1)d bnb1qn1.,类比,1,2,3,1.下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形,C,4,1,2,3,2.下面几种推理是类比推理的是( ) A.因为三角形的内角和是180(32),四边形的内角和是180(42),所以n边形的内角和是180(n2) B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高二年级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员,3班有52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员 D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2整除,4,B,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,4.对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题_ _.,平行平面间的平行线段相等,夹在两,课堂小结,类比推理的特点 (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. (2)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能,类比在数学发现中具有重要作用,但必须明确,类比并不等于论证.,(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.,
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