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2.2.2 等差数列的通项公式,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,1.等差数列 (1)等差数列的通项公式 若等差数列an的首项为a1,公差为d,则an的通项公式为an=a1+(n-1)d. (2)从函数角度研究等差数列 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(d0)是关于n的一次式,从图象上看,这个数列的各点(n,an)在直线y=dx+(a1-d)上. 预习交流1 等差数列an的通项公式一定是关于n的一次函数吗? 提示:不一定,当数列an为常数列时,如1,1,1,其通项公式an=1,是常函数而非一次函数.,目标导航,预习引导,2.等差数列的性质 (1)an=am+(n-m)d(m,nN*),特别地,am+n-an=md. (2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*). (3)若 ,则am+an=2ak(m,n,kN*). (4)an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ak+an-k+1=. (5)数列am,am+k,am+2k,am+3k,(m,kN*)成公差为kd的等差数列,其中d为an的公差. (6)若an,bn是公差分别为d1,d2的等差数列,则c+an(c为任一常数)是公差为d1的等差数列;can(c为任一常数)是公差为cd1的等差数列;an+an+k(k为常数,kN*)是公差为2d1的等差数列;pan+qbn(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.,目标导航,预习引导,预习交流2 若等差数列中,am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),则一定有m+n=p+q吗? 提示:不一定,若数列an是常数列,不一定有m+n=p+q. 预习交流3 (1)在等差数列an中,若a1+a8+a15=15,能否用等差数列的性质求a7+a9? 提示:能.由a1+a8+a15=15,得3a8=15, a8=5,则a7+a9=2a8=10. (2)数列an,bn都是等差数列,且a1=15,b1=35,a2+b2=70,则a3+b3= . 提示:数列an,bn都是等差数列, an+bn也构成了等差数列. (a2+b2)-(a1+b1)=(a3+b3)-(a2+b2).a3+b3=90.,一,二,三,一、求等差数列的通项公式或特定项 活动与探究 例1(1)在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d;,思路分析:设首项与公差,根据条件列出方程组求解.,一,二,三,迁移与应用 1.已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15= . 答案:90,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题,利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法,应牢记等差数列的通项公式. 2.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.,一,二,三,二、等差数列的性质及应用 活动与探究 例2(1)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8的值. (2)等差数列an中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45.求数列an的通项公式. 思路分析:(1)只给出一个条件无法用基本量法求a1,d,但可用设而不求的方法,整体代换可使问题得解,也可用等差数列的性质求解. (2)注意题中数列的项的下标构成等差数列,考虑用等差数列的性质解决.,一,二,三,解:(1)方法一:设首项为a1,公差为d,由已知有5a1+20d=450, a1+4d=90.a2+a8=2a1+8d=2(a1+4d)=290=180. 方法二:由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5, a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450. a5=90.a2+a8=2a5=290=180. (2)a1+a7=a2+a6=2a4, a1+a4+a7=3a4=15.a4=5.a2+a6=10且a2a6=9. a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根. 若a2=1且a6=9,则公差d=2,an=2n-3, 若a2=9且a6=1,则公差d=-2,an=13-2n. 故an=2n-3或an=13-2n.,一,二,三,迁移与应用 1.等差数列an单调递增,且a3+a6+a9=12,a3a6a9=28,则此数列的通项公式an= . 答案:n-2 解析:a3+a9=2a6, a6=4,a3+a9=8,a3a9=7. a3,a9是一元二次方程x2-8x+7=0的两个根. 又an单调递增,a3=1,a9=7,d=1. 从而an=a3+(n-3)d=1+(n-3)=n-2.,一,二,三,2.在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8= . 答案:4 解析:a2+a8=a3+a7=a4+a6=37, a2+a4+a6+a8=237=74. 3.在等差数列中,(1)已知a1+a6=12,a4=7,求a9; (2)已知a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15. 解:(1)a1+a6=a3+a4=12, 又a4=7,a3=5,d=a4-a3=2. a9=a4+(9-4)d=7+52=17. (2)a1+a17=a5+a13=2a9, a9=117,a3+a15=2a9=2117=234.,一,二,三,名师点津 1.已知数列中某些项与项之间的关系,求通项,一般可利用等差数列的通项公式或等差数列的性质解题. 2.要记忆等差数列的常见性质,以便在解题中灵活应用.注意解题过程中整体代换与方程思想的运用.,一,二,三,三、等差数列的实际应用 活动与探究 例3梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 思路分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是12,因此,该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差.,一,二,三,解:设梯子的第n级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列an是等差数列. 由题意,得a1=33,a12=110,n=12, 则a12=a1+11d. 所以110=33+11d,解得:d=7. 所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm, 61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.,一,二,三,迁移与应用 1.某地夏季山上的温度从山底起,每升高100 m降低0.7 ,已知山顶处温度是14.8 ,山底处温度是26 ,则该山相对于山底处的高度为 . 答案:1 600 m 解析:建立等差数列的模型,山底处温度记为a1=26, 山顶处温度an=14.8,公差d=-0.7, an=a1+(n-1)d, 14.8=26+(n-1)(-0.7),解得:n=17. 山高为16100=1 600(m).,一,二,三,2.有一正四棱台形楼顶,其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块,总共需要铺瓦15行,并且下一行比其上一行多铺3块瓦,求该侧面最下面一行铺瓦多少块? 分析:转化为求等差数列的第15项. 解:设从上面开始第n行铺瓦an块,则数列an是首项为30,公差为3的等差数列. 则a15=a1+14d=30+143=72(块), 即该侧面最下面一行铺瓦72块.,一,二,三,名师点津 一个实际问题能够抽象成等差数列的数学模型,首先必须是一个与正整数有联系的问题;其次,还要讨论是不是等差数列.解题的一般步骤是:建立等差数列模型,根据等差数列知识解决问题,还原成实际问题,得出解决方案.,2,3,4,5,1,6,1.数列an的通项公式an=2n+5,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案:A 解析:an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, 数列an是公差为2的等差数列.,2,3,4,5,1,6,2.已知数列an,bn为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列2an-3bn的公差为( ) A.7 B.5 C.3 D.1 答案:D 解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.,2,3,4,5,1,6,3.在等差数列an中,已知am+n=A,am-n=B,则am= .,2,3,4,5,1,6,4.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为 . 答案:2 解析:a1+a5=10=2a3,a3=5,故d=a4-a3=7-5=2.,2,3,4,5,1,6,5.在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.求数列an的通项公式. 解:由a3+a4+a5=84,a9=73得3a4=84, a4=28. an=a4+(n-4)d=28+(n-4)9=9n-8. an=9n-8.,2,3,4,1,6,5,6.(1)已知等差数列an中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值; (2)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.,2,3,4,1,6,5,(2)设公差为d,a1+a3=2a2, a1+a2+a3=15=3a2, a2=5. 又a1a2a3=80,an是公差为正数的等差数列, a1a3=(5-d)(5+d)=16d=3或d=-3(舍去), a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.,
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