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第2课时 函数的最大值、最小值,函数的最值 (1)一般地,设y=f(x)的定义域为A. 若存在定值x0A,使得对于任意的xA,都有f(x)f(x0)恒成立,则称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0). (2)一般地,设y=f(x)的定义域为A. 若存在定值x0A,使得对于任意的xA,都有f(x)f(x0)恒成立,则称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0). (3)函数的最大值和最小值统称为函数的最值. 交流1 从函数图象上看,函数最大值(最小值)在什么位置取得? 提示从函数图象上看,函数的最大值(最小值)应在图象的最高点(最低点)取得.,交流2 函数的最值与函数的值域有什么关系? 提示(1)函数的值域是指函数值的集合.函数最大(小)值一定是值域中的元素.如果值域是一个闭区间,那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值.(2)函数的值域和最值既有区别又有联系.一般来讲,对于图象是连续不断的函数,知道函数在定义域上的最大值和最小值,可知函数的值域,而知道了函数的值域,不一定能确定最值. 交流3 (1)函数y=-x2+5的最大值为 . (2)函数y=-3x+1,x-2,3时的值域是 . 提示(1)5 (2)-8,7,典例导学,即时检测,一,二,一、求函数的最值问题 (1)已知一次函数y=kx+b,当x-1,3时,ymax=5,ymin=-3.试求函数解析式. (2)已知函数f(x)=x2-2ax+2,x-1,1,求函数f(x)的最小值. 思路分析用单调性求函数在某一区间上的最值,要先利用定义证明函数在该区间上的单调性,再求最值,恒成立问题常与函数最值有关.,典例导学,即时检测,一,二,典例导学,即时检测,一,二,(2)函数f(x)的对称轴为x=a,且开口向上,如图. 当a1时,f(x)在-1,1上为减函数,故f(x)min=f(1)=3-2a; 当-1a1时,f(x)在-1,1上先减后增,故f(x)min=f(a)=2-a2; 当a-1时,f(x)在-1,1上为增函数,故f(x)min=f(-1)=3+2a. 综上,可知f(x)的最小值为,典例导学,即时检测,一,二,(1)证明f(x)在1,+)上是增函数; (2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值.,典例导学,即时检测,一,二,典例导学,即时检测,一,二,对函数最值与单调性的认识. (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性几乎成为首选方法. (2)函数最值与单调性有如下关系: 如果函数y=f(x)在区间(a,b上是增函数,在区间b,c)上是减函数,则函数y=f(x)(x(a,c)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间(a,b上是减函数,在区间b,c)上是增函数,则函数y=f(x)(x(a,c)在x=b处有最小值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则在区间a,b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.,典例导学,即时检测,一,二,二、函数最值的实际应用 建造一个容积为6 400立方米、深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元. (导学号51790049) (1)把总造价y元表示为池底的一边长x米的函数; (2)由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过40米,问:蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低?总造价最低是多少? 思路分析本题中蓄水池的容积及深度已知,且池壁、池底的造价已知,故先根据条件列出y与x的函数关系式,再利用单调性求最值.,典例导学,即时检测,一,二,典例导学,即时检测,一,二,典例导学,即时检测,一,二,经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价格近似满足f(t)=20- |t-10|(元).(导学号51790050) (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.,典例导学,即时检测,一,二,典例导学,即时检测,一,二,典例导学,即时检测,一,二,求解实际问题“四步曲”: (1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系). (2)建模:把问题中的关系转化成函数关系,列出函数解析式,把实际问题转换成函数问题. (3)求解选择合适的数学方法求解函数. (4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以改正,最后将结果应用于现实,做出解释或预测. 也可认为分成“设元列式求解作答”四个步骤.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,1.函数f(x)=3x+a,x-1,2的最大值与最小值的差为( ). A.7 B.8 C.9 D.10 答案:C 解析:由题意知f(x)为增函数,最大值与最小值的差为f(2)-f(-1)=32+a-3(-1)-a=9.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,典例导学,即时检测,1,2,3,4,3.已知函数f(x)的图象如图所示,则其单调增区间是 ,最大值为 ,最小值是 . (导学号51790051) 答案:-3,1 3 0 解析:结合图象分析可知,函数在区间-3,1上是上升的,故其单调增区间为-3,1.图象上位置最高的点是(1,3),最低点是(-3,0),所以当x=1时,函数f(x)取得最大值,即ymax=3,当x=-3时,f(x)取得最小值,即ymin=0.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,4.以墙为一边,用篱笆围成长方形的场地,并用平行于一边的篱笆隔开(如图),已知篱笆总长为定值L,写出场地面积y为一边长x的函数, 并求出函数的定义域及面积的最大值. (导学号51790052),
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