2019-2020年高考数学二轮复习（13）不等式教案.doc

2019-2020 年高考数学二轮复习（13）不等式教案 【专题要点】 （1）不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础，是证明不等式和求解不等式的主 要依据，也是高考的重要内容，在高考中一般不单独命题，而是以其他知识（如函数、集 合、充要条件等）为载体进行考查，主要体现它的基础性和工具性。若直接考查，则常以 选择题和填空题形式出现 (2)不等式的解法 要理解“三个二次”之间的关系，熟练掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等 式的解法，这是解其它不等式的基础。会解含参数的一元二次不等式 会解绝对值不等式,能将分式不等式转化为整式不等式（组）求解。 (3)简单的线性规划 能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不 等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问 题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。 (4)均值定理 理解均值不等式的概念，掌握均值不等式的证明过程。能够利用均值 不等式求函数的最值问题。能利用均值不等式解答实际问题。 (5)不等式的综合应用 能够运用不等式的性质、定理，不等式的解法及不等式的证 明有关的数学问题和实际问题。 【考纲要求】 (1)了解日常生活中的不等关系，了解不等式的有关概念及其分类； (2)掌握不等式的性质及其应用；明确各个性质中结论成立的前提条件。 (3)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等 式，会设计求解的程序框图。 (4)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规 划的意义并会简单应用。 (5)掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会 简单应用。 (6)掌握用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式。 【知识纵横】 【教法指引】 1.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现， 且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；在复习复习时应高度重视，对每一 条性质，要弄清楚条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记 住了不等式运算法则的结论形式，还要掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件 而造成解题失误，掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力,在解不等 式时,可结合函数的定义域,值域和单调性. 2.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有 一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学 的所有章节，且常考常新，难度较高,利用均值不等式解决问题的关键是要注意定理成立的 三个条件 “一正二定三相等”. 3.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、 导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年 高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考 查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单 实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。 4 线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐 的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意 5.要注意利用导数与不等式的联系来研究函数的性质和求最值问题. 无理不等式 不 等 式 不等式的性质 均值不等式 不等式的解法 比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 函数法 导数法 不等式的证明 有理不等式 超越不等式 绝对值不等式 一元一次不等式( 组) 一元二次不等式( 组) 整式高次不等式( 组) 分式高次不等式( 组) 指数不等式(组) 对数不等式(组) 三角不等式(组) 不等式的应用 函数的定义域、 值域与单调性 取值范围问题 最值问题 方程根的分布 数列不等式、函 数不等式的证明 实际应用问题 线性规划 3 预计在 xx 年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会 继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识 的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其 是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中, 这也是我们复习本章的重中之重. 【典例精析】 考点 1 不等式的性质 例 1（1）（xx 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】易得时必有.若时，则可能有，选 A。 【答案】A （2） （xx 四川卷文）已知， ， ，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得 点评：这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以及条件与结论的充要关系. 考点 2 比较大小 例 2 (xx 陕西卷)已知函数(a0),若, , 则( ) A. B. C. D.与的大小不能确定 分析 本题是比较两个数的大小关系.比较法是比较两个数的大小的最常用的方法. 解法 1： 22121()(4)(4)fxfaxax2 1)a ,故. 解法 2：函数 (a0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为， a0， x1+x2=0， x1与 x2的中点为 0， x1x2， x2到对称轴的距离大于 x1到对称轴的距离， f(x1)f(x2) ， 选 A 点评: 在比较实数大小的过程中,要遵循异中求同,即先将这些数的部分因式化成相同 的部分,再去比较它们剩余部分的规律.一般地,在数的大小比较中,常用的有以下方法：(1) 作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小；(2)找中间量,往往是 1,在这 些数中,有的比 1 大,有的比 1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相 应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 考点 3 解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的 定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段， “不等式的变形” 是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数 列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等） ，其基本思想是转 化思想转化的方法是: 超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)不等式其 中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有 效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用. 不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵 活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则 更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之 中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理 不等式、指数和对数不等式的解法 例 3(xx 山东卷理)不等式的解集为 . 【解析】:原不等式等价于不等式组或 12()0 x 或 12()(0 x 不等式组无解,由得,由得,综上得,所以原不等式的解 集为. 答案: 点评:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对 值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.但若两边同时平方则 更为简单. 例 4（xx 天津卷 8）已知函数，则不等式的解集是 A （A） （B） （C） （D） 【解析】原不等式可转化为不等式组,可解得,故选. 点评:分段函数问题是高考中的热点问题. 例 5（xx 天津卷理）,若关于 x 的不等式的解集中的整数恰有 3 个，则 （A） （B） （C） （D） 解析：由题得不等式即 02)1(2bxa，它的解应在两根之间，故有04)1(422 bab ，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得， 故，即 点评:本小题考查解一元二次不等式. 考点 4 求最值 例 6（xx 天津卷理）设若 13abab是 与 的 等 比 中 项 ， 则 的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 【解析】因为，所以， 422)1(1 baba ，当且仅当即时“=”成立，故 选择 C 【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通 能力。 例 7（xx 重庆卷文）已知，则的最小值是（ ） A2 B C4 D5 解析:因为 11122()4ababab当且仅当，且，即时， 取“=”号。 【答案】C 例 8 （xx 重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B C D 【解析】因为不等式对任意实数恒成立,故 2max(31)3x,即2234041aaa即 ， 解 得 或 【答案】A 点评:恒成立问题是高考考试的热点问题,常将其转化为最值问题去处理.不等式有解、 无解与恒成立的关系如下(有最大值或最小值)： 有解；有解. 无解；无解. 恒成立；恒成立. 考点 5 线性规划 线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行 域,移线,数形结合等方法解决问题. 例 7（xx 天津卷理）设变量 x，y 满足约束条件： 312xy .则目标函数 z=2x+3y 的最小 值为 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 解析：画出不等式 312xy 表示的可行域，如右图， 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解方程组得， 所以，故选择 B8 6 4 2 -2 -4 -15 -10 -5 5 10 15 2x-y=3 x-y=1 x+y=3 qx = -2x3 +7 hx = 2x-3gx = x+1 fx = -x+3 A B 例 8（xx 福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 01xya （为常数）所表示 的平面区域内的面积等于 2，则的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足01001 yaxyx的 可 行 域 ， 而与 的直线恒过（0，1） ，故看作直线绕点 （0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时， 面积是；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D. 例 9（xx 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即 已知约束条件 01832yx ，求目标函数的最大值，可求出最 优解为，故，故选择 D。 考点 6 不等式的证明 高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不 等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加 之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考 时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式 证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它 与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴 题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分 析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）. 例 10 已知 a，bR，且 a+b=1 求证： 证法一：比较法，作差消 b,化为 a 的二次函数。 也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。 证法二：（放缩法） 左边 222abab 右边 证法三：（均值换元法）， 所以可设， ， 左边 22221()()abtt255ttt 右边 当且仅当 t=0 时，等号成立 点评：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元 证法四：（判别式法） 设 y=(a+2)2+(b+2)2， 由 a+b=1，有 132)3()(2aaay ， 所以， 因为，所以，即 故 点评:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系