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第五节 对数函数,1.对数的定义 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=logaN ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.几种常见对数,3.对数的性质、换底公式以及运算法则,4.对数函数y=logax(a0,且a1)的图象与性质,5.反函数 指数函数y=ax(a0且a1)与对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 6.常用的数学方法与思想 换元法、分类讨论思想、数形结合思想.,1.判断下列说法是否正确(打“”或“”). (1)log212-log23=2. ( ) (1) (2)函数y=log2(2x+1)是对数函数. ( ) (2) (3)函数y=log2(1-x)是(-,1)上的增函数. ( ) (3) (4)函数y=log2(x+2)-1恒过定点(-1,-1). ( ) (4),(5) 2.设a=log0.20.3,b=log23,c=ln 0.2,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.bac B.bca C.cba D.abc 2.A 【解析】01,c=ln 0.2ac.,3.(2015北京高考)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是( ),A.x|-1x0 B.x|-1x1 C.x|-1x1 D.x|-1x2,3.C 【解析】函数y=log2(x+1)的定义域为(-1,+),画出其图象,如图所示,可知函数f(x)和函数y=log2(x+1)的交点坐标为(1,1),且当x(-1,1时,f(x)log2(x+1)成立,观察知C项正确.,4.(2015浙江高考)若a=log43,则2a+2-a= .,典例1 计算下列各式:,(2)(lg 2)2+lg 2lg 50+lg 25. 【参考答案】原式=lg 2(lg 2+lg 50)+2lg 5 =lg 2lg 100+2lg 5=2lg 2+2lg 5 =2.,【变式训练】 计算(log32+log92)(log43+log83).,命题角度1:利用图解构建不等式求范围 典例2 当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,2),【解题思路】设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x(1,2)时,不等式(x-1)21时,如图,要使在区间(1,2)内,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)f2(2),即(2-1)2loga2,即loga21,解得1a2.,【参考答案】 C,命题角度2:利用图象的交点个数判定方程解的个数,【变式训练】,A.恒为负值 B.等于0 C.恒为正值 D.不大于0,(1,2 【解析】当x2时,f(x)=-x+64;而当x2时,要使得f(x)=3+logax4,即logax1=logaa,而x2,可知a1,此时可得xa,即有a2,故有1a2.,命题角度1:求函数的定义域,命题角度2:比较大小,命题角度3:解方程或不等式 典例6 (2015上海高考)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为 . 【解题思路】把2化成log24;利用对数函数的性质两边分别化成同底的对数函数.设3x-1=t(t0),则,【参考答案】 2,【变式训练】 1.(2015蚌埠检测)函数f(x)=lg(1-x2)的定义域是 . 1.(-1,1) 【解析】由已知可得1-x20,即x2ab 【解析】由x(e-1,1),得-10,ab,a-c=ln x(1-ln2x)ab. 3.若loga(a2+1)loga2a0,则实数a的取值范围是 .,易错易混考点:忽视真数大于0的限制条件 与对数有关的复合问题在求解过程中既要考虑到其组合过程中各个基本函数的性质,又要注意到真数大于0这一前提条件.,(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间. (2)是否存在实数a,使f(x)在(-,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由. 【错因分析】(1)忽视x2-4x+30的限制条件而把范围扩大成在(-,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减而出错;(2)令g(x)=x2-2ax+3,忽视g(2)0的条件,而仅考虑对称轴来定范围,从而导致错误.,由x2-4x+30,得x3或x1. 故函数f(x)的定义域为(-,1)(3,+). 令g(x)=x2-4x+3, 则g(x)在(-,1)上单调递减,在(3,+)上单调递增.,
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