2019-2020年高中数学正弦定理、余弦定理的应用（1）教案苏教版必修5.doc

2019-2020年高中数学正弦定理、余弦定理的应用（1）教案苏教版必修5教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤教学过程一问题情境1复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；（2）正弦定理的变形：；（3）余弦定理：二学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线. 2应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；选用合适的定理进行求解；给出答案.四数学运用1例题：例1如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.解：在中，则.又，由正弦定理，得图1-3-1.在中，则.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以 答两点之间的距离约为.本例中看成或的一边，为此需求出，或，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，再由余弦定理求.引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，又，.由余弦定理，得，即.化简，得图1-3-2，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.例3如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设，船的速度为，则，.（例3）在中，.在中，.在中，船的速度.2练习：书上P20 练习1，3，4题.五回顾小结：1测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书数学必修五苏教版1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。教学过程一问题情境1复习引入总结解斜三角形的要求和常用方法.（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.二学生活动引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？三数学运用1例题：例1如图，在四边形中，已知,，, , ，求的长.解：在中，设，则， 即， 图1-3-3，（舍去），由正弦定理：， 例2作用在同一点的三个力平衡.已知， ，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.解：应和合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得.再由正弦定理，得，所以，从而.答 为，与之间的夹角是.本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.例3如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.解：设.在中，由余弦定理，得.于是，四边形的面积为图1-3-4 .因为，所以当时，即时，四边形的面积最大.对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形的面积随着的变化而变化.这样将四边形的面积表示成的函数，利用三角形的有界性求出四边形面积的最大值.例4中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值； 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.解：设三边， 且， 为钝角， ，解得， 或，但时不能构成三角形应舍去，当时，；设夹角的两边为，所以，当时，2练习：1书上P20页练习第2题，习题1.3第1题.2在中，已知，求的最大内角；第4题3已知的两边是方程的两个根，的面积是，周长是，试求及的值；4如图， ， 求的长. （答案：）四回顾小结：1正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；3应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；4在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决.五课外作业：书上P21习题1.3，第5，6，7题，P24复习题第6题.