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余弦函数的周期性,引入:,三角函数是刻画圆周的数学模型,那么“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中.,三角函数到底有那些性质呢?,由单位圆中的三角函数线可知,正余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2,所得角的终边与原来的终边相同.故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有:,sin(2+x)=sinx,cos(2+x)=cosx,诱导公式sin(x+2) =sinx,的几何意义,X,X+2,X,X+2,正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的,4,8,6,12,若记f(x)=sinx,则对于任意xR,都有f(x+2)=f(x),这样的函数具有什么样的特点?如何用数学语言刻画这类函数?,定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期,4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期， 则kT(kN)也是f(x)的周期.,1.x及x+T都应在函数的定义域内,注意:,2.T0,3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的),对于一个周期函数f(x),如果在它的所有正周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期 1、正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)是它们的周期，最小正周期是2.,4,12,6,8,2,10, 是不是周期函数？ 为什么？,等式sin( + )=sin 是否成立？ 如果成立，能否说明 是正弦函数 y=sinx,xR的一个周期？为什么？,解(1),例1:求下列函数的周期： (1)y=3cosx,xR;(2)y=sin2x,xR; (3)y=2sin( ),xR.,是以2为周期的周期函数.,所以y=sin2x是以为周期的周期函数.,2)y=sin2x,xR;,满足f(x+T)=f(x),(3)y=2sin(x/2-/6),是以为周期的周期函数,注意：（）的特点，（）的结构,利用定义证明y=Asin(x+),xR及函数y=Acos(x+),xR (其中A,为常数,且A0,0)的周期T=2/.,根据上述例题的做法,你能完成下面的证明吗?,一般地，函数y=Asin(x+),xR 及函数y=Acos(x+),xR (其中A,为常数,且A0,0)的周期 T=2/.,思考：,若（）的周期为，则（）的周期为多少？,巩固练习：,求下列函数的周期：,巩固练习：,求下列函数的周期：,判断下列函数的周期性：,正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,xR的图象,24-3-99,正弦函数.余弦函数的图象和性质,因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在， 与y=sinx,x0,2的图象相同,因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在， 与y=cosx,x0,2的图象相同,正弦曲线,余弦曲线,例2:(1) 已知函数y=2sin(kx+/3)的周期为T,T(1,3),则正整数 k=,3,4,5,6.,3/2,(0,4,小结：,1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期,2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用的是相同的对应法则f.,3、 函数y=Asin(x+),xR及函数y=Acos(x+),xR(其中A,为常数，且A0,0)的周期T=2/.,
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