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2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质,一、双曲线的简单几何性质,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,x-a,xa,R,y-a,ya,R,坐标轴,原点,A1(-a,0),A2(a,0),A1(0,-a),A2(0,a),A1A2,2a,B1B2,2b,a,b,(1,+),思考:双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗? 提示:不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.,二、等轴双曲线 等轴双曲线是指_的双曲线. 判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)等轴双曲线的离心率是 .( ) (2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( ) (3)离心率是 的双曲线为等轴双曲线.( ),实轴和虚轴等长,提示:(1)正确.a=b,c= a, (2)错误.等轴双曲线中,a=b,渐近线方程为y=x, 与双曲线方程无关. (3)正确.满足等轴双曲线的定义. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 1.对双曲线的几何性质的四点说明 (1)双曲线的范围反映了其图象是两支,且在范围内向两方无限延伸. (2)双曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(0,0)为对称中心,坐标轴为对称轴.,(3)双曲线的离心率对开口大小的影响. 双曲线的离心率e= 反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲 线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得 以理解.(以双曲线 (a0,b0)为例) (e1),e越大,渐近线y= x斜率 的绝对值越大,即 越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变 得开阔. 由此可见,双曲线的离心率越大,它的开口就越大.,2.双曲线与椭圆的六点不同,类型 一 由双曲线标准方程求几何性质 【典型例题】 1.(2013宜春高二检测)双曲线x2- =-1的渐近线方程 为( ) A.y=3x B.y= x C.y= x D.y= x,2.(2013南昌高二检测)设双曲线 (0ab)的半 焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离 为 c,则双曲线的离心率为( ) A.2或 B. C. D.2 3.求双曲线x2-16y2=1的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、顶 点坐标、离心率、渐近线方程.,【解题探究】1.焦点在x轴、y轴上的双曲线的渐近线方程分别是什么? 2.求双曲线的离心率与求椭圆的离心率方法可以通用吗? 3.如何确定双曲线的焦点的位置?,探究提示: 1.当焦点在x轴上时,渐近线方程为y= x;当焦点在y轴上 时,渐近线方程为y= x. 2.方法是相同的,一是定义法,二是方程法. 3.“焦点跟着正项走”,即根据x2和y2的系数的正负确定焦点 位置,如mx2+ny2=1中,m0,n0时焦点 在y轴上.,【解析】1.选D.方法一:把双曲线方程化为标准方程得 -x2=1,焦点在y轴上,a= ,b=1, 渐近线方程为y= x= x. 方法二:把方程中“-1”化为“0”得x2- =0 即y= x.,2.选D.由条件知l : 即bx+ay-ab=0, 即ab= c2. 16a2(c2-a2)=3c4即3e4-16e2+16=0, 解得e2=4或 . ba0,e= e=2.,3.把方程x2-16y2=1化为标准方程得x2- =1, 由此可知半实轴长a=1,半虚轴长b= ,c= 所以焦点坐标为(- ,0),( ,0),离心率e= 顶点坐标为(-1,0),(1,0),渐近线方程为y= x.,【拓展提升】 1.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤,2.求双曲线离心率的两种方法,【变式训练】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【解题指南】首先把方程化为标准形式,再确定焦点位置,然后研究性质.,【解析】双曲线的方程化为标准形式是 a2=9,b2=4,a=3,b=2,c= 又双曲线的焦点在x轴上,所以顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(- ,0),( ,0). 实轴长2a=6,虚轴长2b=4. 离心率e= 渐近线方程为y= x.,类型 二 利用几何性质求双曲线标准方程 【典型例题】 1.(2013唐山高二检测)已知双曲线的渐近线为y= x,焦点 坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) A. B. C. D. 2.(2013汝阳高二检测)双曲线的离心率等于2,且与椭圆 有相同的焦点,求此双曲线的标准方程.,【解题探究】1.只根据渐近线方程能确定双曲线焦点的位置吗? 2.求双曲线的标准方程常用的方法是什么? 探究提示: 1.不能.因为渐近线确定时,双曲线不确定. 2.求双曲线的标准方程常用的方法是待定系数法.,【解析】1.选D.双曲线的渐近线为y= x,焦点在x轴上, 双曲线方程可设为x2- =(0), 即 =1,a2=,b2=3, 焦点坐标为(-4,0),(4,0), c=4. c2=a2+b2=4=16=4, 双曲线方程为,2.椭圆 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0), 则可设双曲线方程为 (a0,b0), c=4,又双曲线的离心率等于2,即 =2, a=2,b2=c2-a2=12. 故所求双曲线方程为,【互动探究】题2中,把“相同的焦点”改为“相同的顶点”, 双曲线的方程如何? 【解析】椭圆 的顶点为(-5,0),(5,0), (0,-3),(0,3), 当顶点为(-5,0),(5,0)时,焦点在x轴上,且a=5,又 =2, c=10, 从而b2=75,标准方程为,当顶点为(0,-3),(0,3)时, 焦点在y轴上,且a=3,又e= =2, c=6,b2=c2-a2=36-9=27, 标准方程为 综上可知,双曲线的标准方程为 或,【拓展提升】待定系数法求双曲线标准方程的步骤 当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意 分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn0), 从而直接求得.,【变式训练】(2013亳州高二检测)双曲线与椭圆 有相同焦点,且经过点( ,4),求双曲线的方程. 【解题指南】椭圆的焦点在y轴上,可以直接设双曲线方 程为 也可以直接设成 再列方程(组) 求解.,【解析】方法一:由题意知双曲线焦点为F1(0,-3),F2(0,3), 可设双曲线方程为 点( ,4)在曲线上,代入得a2=4或a2=36(舍), 双曲线的方程为,方法二:由题意知双曲线的焦点为F1(0,-3),F2(0,3), 可设双曲线的方程为 (a0,b0). 由条件知,点( ,4)在双曲线上, 2a= a=2,b2=c2-a2=32-22=5, 双曲线的方程为,类型 三 与双曲线的渐近线有关的问题 【典型例题】 1.(2013黄冈高二检测)已知双曲线 的一条渐近 线方程为y= x,则该双曲线的离心率e为 . 2.已知双曲线中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(3,-1), 一条渐近线与直线3x-y=10平行,求双曲线的标准方程.,【解题探究】1.根据 能确定焦点的位置吗? 2.由双曲线上的点及渐近线能确定焦点的位置吗? 探究提示: 1.因为m,n的符号不定,所以由 不能确定焦点的 位置. 2.能.可根据点与渐近线的位置关系确定焦点的位置.,【解析】1.当双曲线的焦点在x轴上时, 渐近线方程为y= x, 离心率 当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线方程为y= x, 这时 离心率 故双曲线的离心率为 或 . 答案: 或,2.由已知,双曲线中心在原点,坐标轴为对称轴,由于其中一 条渐近线与直线l:3x-y=10平行, 所以,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,即y=3x. 可设双曲线方程为9x2-y2=(0).由于双曲线过点 P(3,-1),所以932-(-1)2=,即=80. 所求双曲线的标准方程为,【拓展提升】 1.求双曲线渐近线方程的两种方法,2.根据渐近线方程求双曲线方程 (1)若双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线方程可表 示为 (0). (2)与双曲线 (a0,b0)共渐近线的双曲线方程 可表示为 (a0,b0,0);与双曲线 (a0,b0)共渐近线的双曲线方程可表示为 (a0,b0,0).,【变式训练】求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程. 【解析】方法一:双曲线的渐近线方程可写成 因此双曲线的方程可写成 (0). 由焦点在x轴上,知0,双曲线的方程可写成 由c=4,知16+9=16,即= 故所求双曲线的标准方程为,方法二:由已知条件知双曲线的焦点在x轴上且 解得a= ,b= ,c=4, 所以双曲线的标准方程为,【易错误区】混淆双曲线的位置关系导致列错方程致误 【典例】(2012湖北高考)如图,双曲线 (a,b0)的两顶点为A1,A2,虚 轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2 为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D,则 (1)双曲线的离心率e= . (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 = .,【解析】(1) = ,化简得: a2+ac-c2=0,即e2-e-1=0.又e1,则 (2)由题意知:S1=2bc,在OF2B2中连接OA,则|AF2|=b, 矩形ABCD边长|AD|= ,|AB|= ,S2= , 则 答案:(1) (2),【误区警示】,【防范措施】 1.位置关系不要混乱 解决解析几何问题,常常在复杂的图形中,容易混淆位置关系,解题时,要搞清a,b,c的几何意义,从而准确地列出方程,本例中,圆的半径是a,也是原点到菱形F1B1F2B2的四边的距离.,2.转化思想不要忘记 解题中,往往第(1)问的结论对第(2)问的影响很大,所以做题时要把第(2)问的解题靠拢第(1)问的结论,如本例中,离心率在第(1)问中已求出,要善于借用,把(2)中的比例关系转化为离心率的关系. 3.数形结合协助解题 解题时,要强化数形结合的作用,“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,了解数与形结合的重要性,对解题有很大的帮助.如本例,若要借助图形,转化结果就会轻松求解.,【类题试解】(2013唐山高二检测)已知双曲线的方程为 (a0,b0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距 离为 c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【解析】选B.渐近线取y= x即bx-ay=0.焦点取F2(c,0), 则 从而3b= c,解得e=,1.双曲线 的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 B.2 C. D.1 【解析】选A.双曲线的焦点是(-4,0)和(4,0),渐近线方程为 y= x,焦点到渐近线的距离是,2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】选C.将双曲线方程2x2-y2=8化为 a=2,实轴长2a=4.,3.与椭圆 +y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) A. -y2=1 B. -y2=1 C. D.x2- =1 【解析】选B.椭圆 +y2=1的焦点为( ,0),因为双曲线与 椭圆共焦点,所以排除A,C.又双曲线 -y2=1经过点(2,1), 故选B.,4.已知等轴双曲线的焦距为4,则该等轴双曲线的方程为 . 【解析】当焦点在x轴上时,方程设为 则2a2=4, a2=2,即双曲线方程为 同理焦点在y轴上时, 双曲线方程为 答案: 或,5.双曲线 (a0,b0)的一条渐近线方程为y= x, 则该双曲线的离心率的值为 . 【解析】由已知得 所以 故 即 所以e= 答案:,6.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦 点F1,F2,且|F1F2|=2 ,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差 为4,离心率之比为37.求这两条曲线的方程.,【解析】由已知:c= ,设椭圆长、短半轴长分别为a,b, 双曲线半实轴、半虚轴长分别为m,n, 则 解得a=7,m=3.b=6,n=2. 椭圆方程为 双曲线方程为,
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