资源描述
成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章,2.3.1 直线与平面垂直的判定,1在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：等腰三角形底边上的中线_底边；菱形对角线互相_；正方形对角线互相_；圆的直径所对圆角等于_. 2在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法,知识衔接,垂直平分,垂直平分,垂直平分,90,1直线与平面垂直,自主预习,任意一条,垂线,垂面,垂足,破疑点 (1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语 (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式 (3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线,2判定定理,相交,abP,垂直,破疑点 直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可,3直线和平面所成的角 (1)定义：一条直线和一个平面_，但不和这个平面_，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引_，过_和_的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角,相交,垂直,交点,垂线,垂足,斜足,锐角,90,0,1直线l平面，直线m，则l与m不可能( ) A平行 B相交 C异面 D垂直 答案 A 解析 直线l平面，l与相交， 又m，l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行,预习自测,2直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是( ) Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直 Cl在平面内 D不能确定 答案 D 解析 如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D,3.如右图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是( ) A60 B45 C30 D120 答案 A 点评 垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形,4如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：AC平面BDD1B1. 分析 转化为证明ACBD，ACBB1.,证明 BB1AB，BB1BC， BB1平面AC， 又AC平面AC，BB1AC 又四边形ABCD是正方形，BDAC又BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，BB1BDB， AC平面BDD1B1.,如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证： (1)BC平面PAB； (2)AE平面PBC； (3)PC平面AEF.,线面垂直的判定,互动探究,探究 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用如看到PA平面ABC，可想到PAAB、PABC、PAAC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PABC，联系已知，问题得证 证明 (1)PA平面ABC，BC平面ABC， PABC ABC90，ABBC 又ABPAA，BC平面PAB,(2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE. PBAE，BCPBB， AE平面PBC (3)AE平面PBC，PC平面PBC， AEPCAFPC，AEAFA， PC平面AEF.,规律总结：线面垂直的判定定理的应用 (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： 在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； 确定这个平面内的两条直线是相交的直线； 根据判定定理得出结论,(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法,如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC 探究 题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，ABBC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用,证明 (1)因为SASC，D是AC的中点， 所以SDAC在RtABC中，ADBD， 由已知SASB，所以ADSBDS， 所以SDBD，又ACBDD， 所以SD平面ABC (2)因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC，由(1)知SDBD， 又因为SDACD，所以BD平面SAC,规律总结：利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤： (1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论,在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角,线面角,探究 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求,规律总结：求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角 (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等,答案 D,如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E，F分别为CD，PB的中点 (1)求证：EF平面PAB；,线面垂直的综合应用,探索延拓,探究 (1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EFPB，EFAF，所以本题得证；(2)要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得BP平面EFA故在BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH平面EFA，GAH为所求角,解析 (1)证明：连结BE，EP. EDCE，PDADBC， RtPDERtBCE，PEBE. F为PB中点，EFPB PD底面ABCD，DAAB，PAAB 在RtPAB中，PFBF，PFAF. 又PEBEEA，EFPEFA，EFFA PBAFF，EF平面PAB,规律总结：(1)中还可取AB中点Q，连结EQ，FQ，证明AB平面EFQ，则ABEF，加上EFPB，则EF平面PAB(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角,如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足 (1)求证：AN平面PBM. (2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB,探究 根据PA平面ABM，证得BM平面PAM，再利用线面垂直的判定定理证明AN平面PBM.而证线线垂直，可先证线面垂直,证明 (1)AB为O的直径， AMBM. 又PA平面ABM，PABM. 又PAAMA，BM平面PAM. 又AN平面PAM，BMAN. 又ANPM，且BMPMM， 又AN平面PBM.,(2)由(1)知AN平面PBM， PB平面PBM，ANPB 又AQPB，ANAQA， PB平面ANQ. 又NQ平面ANQ，PBNQ.,规律总结：证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理的条件,已知四边形ABCD中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，求证：四边形ABCD是矩形 错解 四边形ABCD中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，四边形ABCD是矩形 错因分析 把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得出结论,易错点一 在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形,误区警示,思路分析 四边形ABCD有两种存在形式：平面四边形ABCD和空间四边形ABCD，需分类证明 正解 当四边形ABCD是平面图形时，它显然是矩形,若四边形ABCD是空间四边形时，可设点C在平面ABD之外如图，过点C作CC1平面ABD，则AB面BCC1，ABC190.同理，ADC190.,如图所示，ab，点P在a，b所确定的平面外，PAa于点A，ABb于点B求证PBb. 错解 PAa，ab，PAb， PA平面，PBb. 错因分析 上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PAa，PAb，得PA，忽略了a与b不相交,正解 PAa，ab，PAb. 又ABb，且PAABA，b平面PAB 又PB平面PAB，PBb.,1若直线a与平面内的两条直线垂直，则直线a与平面的位置关系是( ) A垂直 B平行 C斜交或在平面内 D以上均有可能 答案 D 解析 a与内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，a与可能平行、垂直、斜交或a在内,2如果一条直线垂直于一个平面内的： 三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直( ) A B C D 答案 A 解析 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是.,3下列命题中正确的个数是( ) 如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l； 如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l； 如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线； 如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 只有正确,4在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_. 答案 45,解析 如图所示，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，B1B平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角由题意知，B1AB45，故所求角为45.,规律总结：求直线与平面所成的角的关键是找出平面的垂线，从而找出直线在平面内的射影,
展开阅读全文